O ASP.NET AJAX Control Toolkit possui uma classe base que ...

Alternativa correta: B - ExtenderControlBase.

Para compreender a questão apresentada, é essencial ter um conhecimento sólido sobre o ASP.NET AJAX Control Toolkit, que é um conjunto de controles e extensões para ASP.NET que visa enriquecer a experiência do usuário com interfaces mais dinâmicas e interativas através do uso de AJAX (Asynchronous JavaScript and XML).

Um control extender no contexto do ASP.NET AJAX é uma classe que adiciona funcionalidades adicionais a um controle ASP.NET existente sem a necessidade de criar um novo controle do zero. Esses extensores são criados em JavaScript, e sua principal função é aprimorar os controles web padrão com novas capacidades, como efeitos visuais, comportamentos de validação melhorados, entre outros.

A base para a criação desses extensores é a classe ExtenderControlBase, que proporciona o arcabouço necessário para que as extensões sejam implementadas. Ela fornece os métodos e propriedades essenciais para que a extensão se comunique devidamente com o controle ao qual está sendo associada, bem como integração com o ciclo de vida do controle ASP.NET, garantindo que o comportamento extendido seja incorporado de forma transparente.

As outras alternativas mencionadas não correspondem ao contexto da questão:

• System.Web.Extensions.dll é uma biblioteca no .NET Framework que contém classes para AJAX e extensões de controles ASP.NET, mas não é a classe base para extensores;
• PainelVisibilidadeComutavelExtender parece ser uma tentativa de nomear um extensor específico, mas não é um nome reconhecido oficialmente dentro do toolkit;
• System.Web.UI é um namespace que contém classes que definem a infraestrutura de UI (User Interface) para controles de servidor web ASP.NET, mas não é a classe base para extensores;
• AjaxControlExtender.vsi pode ser confundido por causa do nome, mas na verdade refere-se a um instalador de pacotes Visual Studio para controles do AJAX Control Toolkit, e não a uma classe base para extensores.

Portanto, a alternativa B é a única que descreve corretamente a classe base para a criação de control extenders no ASP.NET AJAX Control Toolkit, justificando sua seleção como a resposta correta.

...observe que a classe herda da classe base ExtenderControlBase.Todos os controles extensores do AJAX Control Toolkit derivam desta classe base.

Fonte:https://docs.microsoft.com/pt-br/aspnet/web-forms/overview/ajax-control-toolkit/getting-started/creating-a-custom-ajax-control-toolkit-control-extender-cs