Seja X uma população normal, com média µ, variância σ2
e mediana θ. Seja Xi
, i = 1, 2, ... n, uma amostra aleatória simples da população X, considere as seguintes
estatísticas: e md, respectivamente média e mediana de
Xi
, i = 1, 2, ... n, eConsidere as seguintes afirmações sobre estas
estatísticas:
I. S2 é um estimador não viciado de σ2.
II.  é um estimador consistente para µ.
III.  tem variância menor do que S2.
IV.  , como estimador de θ, é mais eficiente do que md.
Está correto o que se afirma em

Question

Seja X uma população normal, com média µ, variância σ2
e mediana θ. Seja Xi
, i = 1, 2, ... n, uma amostra aleatória simples da população X, considere as seguintes
estatísticas: e md, respectivamente média e mediana de
Xi
, i = 1, 2, ... n, eConsidere as seguintes afirmações sobre estas
estatísticas:
I. S2 é um estimador não viciado de σ2.
II.  é um estimador consistente para µ.
III.  tem variância menor do que S2.
IV.  , como estimador de θ, é mais eficiente do que md.
Está correto o que se afirma em Alternativa A: I e II, apenas. Ou Alternativa B: I, II e III, apenas. Ou Alternativa C: I, II e IV, apenas. Ou Alternativa D: II, III e IV, apenas. Ou Alternativa E: I, II, III e IV.

Francisco Eduardo de Castro · Accepted Answer

Alternativa [E] I, II, III e IV. Item I.  Um estimador é dito não viciado quando a sua esperança é igual ao parâmetro.  No caso da variância, o estimador não viciado é conseguido utilizando-se n−1 no denominador. O item está certo. Já o estimador que apresenta "n" no denominador é viciado. Porém, no caso de uma distribuição amostral, este é o estimador de máxima verossimilhança. Item II. Um estimador não tendencioso (como X¯) será consistente se o limite de sua variância, quando o tamanho da amostra tende ao infinito, for igual a zero.  A variância deste estimador é dada por:V(X¯)=σ2 /n Quando "n" tende ao infinito, o denominador tende ao infinito. Logo, a razão tende para zero. Assim, X¯ é um estimador consistente. item III o denominador de σ^2 é maior que o denominador de S2, então aquele estimador tem variância menor.Aquele tem denominador n ao passo que esse tem denominador n - 1 item IV Segundo o livro "Estatística Básica", dos autores Bussab e Morettin, no caso de uma população normal, a mediana amostral "md" segue uma distribuição aproximadamente normal, com média μ e variância igual a: π×σ2 /2n Dividindo as duas variâncias: V(X¯)÷V(md)=σ2 /n÷π×σ2 /2n=2/π<1  Logo, a variância de X¯ é menor que a variância de md.  Portanto, X¯ é mais eficiente que md. Item correto. Resposta: E

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Seja X uma população normal, com média µ, variância σ2 e me...

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