Considere as informações referentes a uma população de tama...

Sejam X1, X2 e X3 as variáveis aleatórias que representam as observações dos estratos 1, 2 e 3, respectivamente.

Dentro de cada estrato, a variância da média amostral é igual à variância populacional, dividida pelo número de elementos da amostra.

Na população, o estrato 1 tem participação de 50%. O estrato 2 tem participação de 30%. O estrato 3 tem participação de 20%.

Deste modo, em uma amostra de tamanho 20, teremos:

- estrato 1: 10 elementos (50% de 20)

- estrato 2: 6 elementos (30% de 20)

- estrato 3: 4 elementos (20% de 20).

Com isso, podemos calcular as variâncias das médias amostrais de X1, X2 e X3:

Var(X¯1)=Var(X1)/10=100/10=10

 Analogamente:

Var(X2¯)=Var(X2)/6=30/6=5

 E, por fim:

Var(X3¯)=Var(X3)/4=10/4=2,5

Agora podemos calcular a variância de X¯. Primeiro, partimos da fórmula dada na questão:

X¯=∑Ni /N×X¯i

X¯=0,5×X¯1+0,3×X¯2+0,2×X¯3

No caso de variáveis independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias. Além disso, quando multiplicamos uma variável por uma constante, a variância fica multiplicada pela constante ao quadrado.

Ficamos com:

=0,25×10+0,09×5+0,04×2,5=3,05

Resposta: C