Com base nessas informações e na figura precedente, julgue o...
A figura anterior ilustra um sistema de frenagem
manual de um tambor de raio R2 = 50 cm. A frenagem ocorre
devido ao atrito de Coulomb entre a superfície externa do
tambor e a superfície de contato de uma sapata de freio fixada
no ponto C de uma barra, que é livre para girar em torno do
ponto A. O coeficiente de atrito dinâmico entre as superfícies
é μd = 0,8. A força de frenagem depende da carga P aplicada
no ponto D da barra. No tambor, há um carretel de raio
R1 = 20 cm, em que uma corda enrolada sustenta a carga B de
massa MB = 20 kg. A distância de D a C é LCD = 80 cm. A
distância entre C e A é LAC = 40 cm. A massa do tambor é
igual a MT = 60 kg e o raio de giração em torno de seu eixo de
rotação O é k0 = 40 cm. O raio de giração é aqui definido
como a distância em relação ao eixo de rotação em que
se pode concentrar a massa total do tambor, de modo que
o momento polar de inércia calculado para a massa
concentrada seja equivalente ao momento polar de inércia
calculado para a massa total distribuída.
Com base nessas informações e na figura precedente, julgue o próximo item.
Considerando-se que g = 10 m/s2 seja a aceleração
gravitacional, se, no instante de aplicação de uma carga
P = 100 N, a massa B estiver em movimento descendente
com velocidade vB = 2 m/s, então a massa atingirá o repouso
quando estiver a 1 m abaixo da sua posição inicial, isto é,
posição correspondente ao momento de aplicação da força P.
Comentários
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Encontrei 1,2 m!
Segue solução (caso encontrem algum erro, favor informar):
Encontrando a velocidade angular de rotação da polia:
VB = w0 x R1
2 = w0 x 0,2
w0 = 10 rad/s
Após a realização do digrama de equilíbrio para a barra, temos as reações no ponto C da polia:
CX = 300 N (←)
CY = CX x µd (↓)
CY = 300 x 0,8 = 240 N (↓)
Para a polia, seguem as equações de equilíbrio considerando os momentos em torno de O
M(CY) – M(MB) = I x α
CY x R2 – PB x R1 = (MT x KO²) x α
240 x 0,5 - 20 x 10 x 0,2 = (60 x 0,4²) x α
α = 80/9,6 rad/s²
Em posse da aceleração angular (α), w0 e w' (repouso), é possível calcular a variação do ângulo Δθ através da equação:
w'² = w0² -2 x α x Δθ
0² = 10² - 2 x (80/9,6) x Δθ
Δθ = 6 rad
Com a variação Δθ, podemos calcular o comprimento de arco percorrido pela corda que sustenta B, que é igual a variação da posição de B até atingir o repouso:
S = Δθ x R1
S = 6 x 0,2 = 1,2 m
Acredito que a resposta do Vinícius M. precisaria de uma revisão na parte do equilíbrio de momentos em torno de O.
Pelo que entendi a força de tração no fio (PB) foi admitida como sendo igual ao peso (mb.g). Porém, isso não é verdade uma ver que a força peso da massa m é menor que a força de tração no fio, calculada pela aplicação da 2ª LN no bloco M.
Achei a resposta de 1,3 m. Portanto, item ERRADO.
Também encontrei 1,2 m . E agradeço ao vinicius pela explicação. Entendido perfeitamente
Também encontrei 1,3 m, além da força da gravidade faltou somar a aceleração do bloco que vai estar freando, que deveria ser colocada como α x r na equação.
A primeira vez que resolvi fiz errado por causa do raio de giração, considerei o momento de inercia 1/2mr² mas o raio de giração é raiz(I/A) ou raiz(J/m), o que daria mr², é o momento de inercia de um rolo ou anel de espessura desconsiderável.
Fiz pelo método da energia e deu 1,3 m. (Falsa)
Segue resolução:
A energia dissipada por atrito (trabalho da força de atrito) equivale à variação da energia mecânica do sistema. Logo, o balanço de energia fica da seguinte forma:
E(atrito) = E(cin. bloco) + E(pot. bloco) + E(cin tambor)
1) Energia dissipada por atrito (módulo do trabalho da força de atrito):
Eat = Fat * d = (mi * Cx) * d = 0,8 * 300 * d
Obs: Da relação geométrica de semelhança obtida da polia:
d/R2 = YB/R1 ----> d = (0,5/0,2) * YB ----> d = 2,5 * YB
Logo:
Eat = 600 * YB (SI)
2) Energia cinética do bloco B:
EcinB = 0,5 * MB * VB^2 = 0,5 * 20 * 4
EcinB = 40 J
3) Energia potencial do bloco B:
EpotB = MB * g * YB = 20 * 10 * YB
EpotB = 200 * YB
4) Energia cinética (rotacional) do tambor:
EcinT = 0,5 * I * w^2 = 0,5 * (MT * K0^2) * (VB/R1)^2 = 0,5 * (60 * 0,16) * (10)^2
EcinT = 480 J
Logo, substituindo na equação inicial:
600 * YB = 40 + 200 * YB + 480
YB = 1,3 m (A AFIRMATIVA É FALSA)
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