No torneio de baseball chamado WorldSeries, dois times dispu...

Antes de iniciarmos, recorde-se que uma variável aleatória discreta X tem distribuição Binomial Negativa de parâmetros n e p ( X ~ BinNeg(n, p) ) se X tem função massa de probabilidade f dada por

f(x) = C(x + n - 1, n - 1) · pⁿ · (1 - p)ˣ, x = 0, 1, 2, ...

onde C(a, b) denota a combinação de a elementos tomados de b em b. A variável X conta o número de fracassos necessários até se conseguir n sucessos em uma sequência de tentativas independentes de um evento de probabilidade p.

Retomando a questão, vamos denotar um time por A e outro por B. Seja X a variável aleatória que conta o número de vitórias do time A e Y a variável análoga para o time B. As variáveis X e Y tem distribuição binomial negativa com parâmetros n = 4 e p = 1/2.

A probabilidade de que o time A vença o campeonato em no máximo 5 partidas é a probabilidade do evento [X ≤ 1]

P(X ≤ 1) = f(0) + f(1) = (0 + 4 - 1)! / ( 0! · (4 - 1)! ) · (1/2)⁴ · (1/2)⁰ + (1 + 4 - 1)! / ( 1! · (4 - 1)! ) · (1/2)⁴ · (1/2)¹ = 1/16 + 4/32 = 1/16 + 1/8 = 3/16

Analogamente, a probabilidade de que o time B vença o campeonato em no máximo 5 jogadas é

P(Y ≤ 1) = P(X ≤ 1) = 3/16

Os eventos X ≤ 1 e Y ≤ 1 são mutuamente excludentes, pois apenas um dos dois times pode ganhar 4 vezes em no máximo 5 jogadas. Portanto, a probabilidade de que o campeonato termine em no máximo 5 partidas, que é igual a probabilidade de que ou o time A vença ou time B vença, é:

P( [X ≤ 1] U [Y ≤ 1] ) = P(X ≤ 1) + P(Y ≤ 1) = 3/16 + 3/16 = 3/8

Resposta: 3/8

o no máximo pegou