Seja (X, Y) vetor aleatório contínuo e uniformemente distrib...

Solução 1:

Para encontrar a esperança condicional de X dado que Y=y, podemos usar a definição de esperança condicional:

E(X∣Y=y)=∫x⋅fX∣Y(x∣y) dx

Dado que (X,Y) é uniformemente distribuído no disco unitário D, a função de densidade condicional fX∣Y(x∣y) é constante dentro do intervalo onde X é possível para um dado y, e zero fora deste intervalo.

Para Y=y, o intervalo onde X é possível é de −raiz de 1−y2​ a raiz de 1−y2​. Dentro deste intervalo, a função de densidade condicional é constante. Como a área total do disco unitário é π, a probabilidade de Y=y é a fração da área do disco que corresponde à faixa de Y de y a y+dy, que é dy/π.

Portanto, a esperança condicional de X dado que Y=y é a média ponderada de x neste intervalo:

E(X∣Y=y) = 1/π∫dx com x variando de −raiz de 1−y2​ a raiz de 1−y2, logo, E(X∣Y=y) = 0

Portanto, a resposta correta é a letra C.

Solução 2:

Para resolver o problema usando coordenadas polares, podemos reescrever a função de densidade conjunta fX,Y​(x,y) em termos de coordenadas polares.

Em coordenadas polares, x=rcos⁡(θ) e y=rsin⁡(θ), onde r é o raio do disco unitário (sempre igual a 1) e θ é o ângulo em relação ao eixo x.

A transformação Jacobiana para coordenadas polares é dxdy=rdrdθ

A função de densidade conjunta fX,Y​(x,y) é constante dentro do disco unitário, então ela pode ser escrita como fX,Y(x,y)=c, onde c é uma constante de normalização. Como a área total do disco unitário é π, temos que c=1/π​.

Portanto, em coordenadas polares, a função de densidade conjunta é:

fX,Y(r,θ)=1/π

Agora, para encontrar a esperança condicional de X dado que Y=y, usamos a definição de esperança condicional em coordenadas polares:

E(X∣Y=y)=1/π∫rcos⁡(θ)⋅1/πr dθ = 0

A integral em θ de 2π representa uma média sobre todos os ângulos, e a integral em r de 0 a 1 representa uma média sobre todos os raios dentro do disco unitário.

Portanto, a esperança condicional de X dado que Y=y é igual a 0.

Assim, a alternativa correta é a letra C.