Deseja-se verificar a eficácia de certa vacina contra COVID-...

Estamos diante de um teste de independência. A estatística qui-quadrado (χ²) é dada por

χ² = ∑ (Oi - Ei)²/Ei,

onde Oi é a frequência observada na classe i e Ei é a frequência esperada na mesma classe se a hipótese nula for verdadeira. A frequência esperada no caso do teste de independência (H0: independência entre as variáveis dadas pela linha e pela coluna) é dada pelo produto adequadamente normalizado das frequências marginais. A estatística χ² tem distribuição assintótica qui-quadrado com 1= (2-1) · (2-1) grau de liberdade. Calculando seu valor obtemos:

χ² = (130 - 200 · 190/350)²/(200 · 190/350) + (60 - 150 ·190/350)²/(150 ·190/350) + (70 - 200 · 160/350)²/(200 · 160/350) + (90 - 150 · 160/350)²/(150 · 160/350) = 21,581... ≈ 22

Agora, devemos comparar esse valor com x tal que P( X > x ) = 0,05 onde X tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Usando algum software obtemos x = 3,841... ≈ 3,8. É claro que 22 > 3,8 de onde concluímos que devemos rejeitar a hipótese a hipótese nula ao nível de significância de 5%, isto é, rejeitamos a independência (probabilística) entre a situação vacinal e a infecção por Covid-19.

Resposta: a estatística qui-quadrado é aproximadamente 22, o que indica que existe dependência entre a vacinação e a infecção pela doença.

Comentário: 1. Usei uma calculadora para fazer a conta da estatística χ². Se tivesse que fazer a conta na mão na hora, provavelmente procuraria algo com valor próximo e divisores melhores: 190 = 2 · 5 · 19 e 350 = 2 · 5 · 5 · 7. Embora 2 e 5 sejam bons, 19 e 7 são péssimos para trabalhar em base 10. Mas, 189 = 3³ · 7. O mesmo podemos fazer com 161 = 7 · 23 no lugar de 160. Enquanto 23 não é um número muito bom, ainda é possível trabalhar um pouco. Com essa substituição, o valor de χ² seria 13400/621 = 21.578... ≈ 22. Ou seja, não muda nada, mas os números são mais agradáveis.

2. Não precisa de uma tabela de distribuição qui-quadrado para ver que a hipótese seria rejeitada. A distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade tem média igual a 1 e variância igual a 2. Pela desigualdade de Chebyschev P(X > t + 1) < 2 / t². Fazendo 2 / t²2 = 0,05, obtemos t²= 40, ou seja 6 < t < 7. Logo, para P(X > 8) < 0,05. Portanto, x < 8 (bem menor na verdade). Como 22 > 8 > x, o problema está resolvido. Ou só use o bom senso mesmo.