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RESOLUÇÃO

Partimos da média X̅ de 16 variáveis aleatórias descorrelacionadas (tamanho da amostra).

Calculamos o valor esperado e o desvio padrão de X̅, conforme as fórmulas ajustadas - provas no final do comentário.

E(X̅) = μ = 5

V(X̅) = σ²/n = 9/16 → DP(X) = 3/4 = 0,75

A média da amostra deve ser superior a 5,5 h. Convertemos esse valor para a variável aleatória padronizada (Z):

z = (x - μ) / (σ / √N̅) = (5,5 - 5) / 0,75 = 0,5 / 0,75 = 2/3

[O desvio padrão já está reduzido - cuidado para não aplicar a raiz quadrada duas vezes.]

P(X̅ > 5,5) = P(Z > 2/3)

Aplicando a probabilidade complementar:

P(Z > 2/3) = 1 - P(Z ≤ 2/3)

Do enunciado, temos que Φ(z) = P(Z ≤ z). Logo:

P(X̅ > 5,5) = 1 - Φ(2/3)

Resposta: (B)

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PROVAS

Valor Esperado - Média de VAs

https://latex.codecogs.com/svg.image?\large&space;\begin{align}&\text{Valor&space;Esperado\;-\:M}\acute{e}\text{dia&space;de&space;Vari}\acute{a}\text{veis&space;Aleat}\acute{o}\text{rias}\\&E(\overline{X})=E\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n&space;X_i\right]=\dfrac{1}{n}E\left[\sum_{i=1}^n&space;X_i\right]\\&\text{Assumindo&space;que&space;as&space;VAs&space;s}\widetilde{a}\text{o&space;descorrelacionadas:}\\&=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n&space;E\left[X_i\right]=\dfrac{1}{n}n\mu=\mu\\\end{align}

Variância - Média de VAs

https://latex.codecogs.com/svg.image?\large&space;\begin{align}&\text{Vari}\hat{a}\text{ncia\;-\:M}\acute{e}\text{dia&space;de&space;Vari}\acute{a}\text{veis&space;Aleat}\acute{o}\text{rias}\\&V(\overline{X})=V\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n&space;X_i\right]=\left(\dfrac{1}{n}\right)^2V\left[\sum_{i=1}^n&space;X_i\right]\\&\text{Assumindo&space;que&space;as&space;VAs&space;s}\widetilde{a}\text{o&space;descorrelacionadas:}\\&=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n&space;V\left[X_i\right]=\dfrac{1}{n^2}n\sigma^2=\dfrac{\sigma^2}{n}\\\end{align}