O valor máximo da função de variável real f(x) = 4(1 + x)(...

Para sabermos o valor máximo da função, basta encontrarmos o "X" do vértice da mesma, ou seja,
precisamos encontrar o X_v.
Abrindo a função f(x) aplicando a distributiva, teremos:

f(x) = 4(1 + x)(6 - x) = 24 - 4x + 24x - 4x²

f(x) = -4x² + 20x + 24

Logo, os coeficientes são: a = -4, b = 20 e c = 24. Aplicando os coeficientes a e b na fórmula geral do X do vértice:

X_v = -b/2a = - [20/2*(-4)] = - [10/-4] = - [-5/2] = 5/2

X_v = 5/2

Substituindo agora o valor encontrado acima na função f(x):

f(x_v) = -4x_v² + 20x_v + 24

f(x_v) = -4(5/2)² + 20(5/2) + 24

f(x_v) = -4(25/4) + 10*5 + 24

f(x_v) = -25 + 50 + 24

f(x_v) = 49

Resposta : D

f(x)=4(1+x).(6+x)  logo   -4x²+20x+24=0  igual  -x²+5x+6=0   (a=-1; b=5; c=6 )

delta=b²+4ab
delta=5²+4.(-1).(6) = 25+24 =49     

Resposta: letra d) 49

O ponto máximo da função quadrática será vértice de sua parábola, quando a < 0.

O vértice se encontra em ( -b / 2a ; -Δ / 4a), e o ponto máximo da função será dado pela coordenada de y.

Sendo assim, f(x)=4 (1+x)(6-x) = 4 (-x² + 5x + 6) = = -4x² + 20x + 24.

O Δ desta função será: 
Δ= b² - 4ac 
Δ= 20² - 4(-1)(24) = 400 + 384 = 784.

O ponto máximo será -Δ/4a = -784 / 4 (-4) = 49, letra d.


Observem que embora a resolução da colega acima tenha dado o mesmo resultado, ela possui alguns erros conceituais, como por exemplos as fórmulas e o caminho usado na resolução, por isso quis comentar com a maneira conceitualmente correta de resolver a questão.

Bons estudos e paz!

Basta você achar o ponto máximo de uma parábola que é dado pela fórmula -b2.4ac/4a 

se o a fosse positivo, usaríamos para achar o ponto de mínimo a fórmula -b/2a

f(x) = 4(1+x)(6-x)
f(x) = 4(-x² + 5x + 6)

Tendo em conta que o valor de a (ax² + bx + c) é negativo a concavidade está voltada para baixo e a função tem um valor máximos cujas coordenadas são determinadas pelas expressões y_v = -delta/4a e x_v = -b/2a.

Como o que a questão solicita é o valor máximo da função, temos:

delta = b² - 4ac = 25 -4(-1)(6) = 49
y_v = -delta/4a = -49/-1 = 49
Opção d

Uma outra forma...

sabemos que o xv é a média entre as raízes, logo

f(x)= 4(1+x)(6-x)

As raízes são:

x1 = -1

x2 = 6      

para quem não conseguir enxergar é só lembrar que a raíz é aquele número que aplicado na equação, fornece-me f(x) =0

Xv = [(-1) + 6 ]/ 2  => xv = 2,5

Para achar o valor máximo é aplicar o xv na equação

f( 2,5) = 4(1+2,5)(6-2,5) => f(2,5) = 4(3,5)(3,5)   = >  f(2,5) = 4.35.35/100  => f(2,5) = 35.35/25 => f(2,5) = 7.35/5 = > f(2,5) = 7.7   => f(2,5) = 49

Note que quanto melhor você dominar a simplificação, mais rápido sai a questão! E para nós tempo é sagrado

Resposta: (d) 49