Seja duas variáveis aleatórias discretas (X,Y), onde o par t...

Como P(X=x,Y=y)=θx+y−1 é uma função de probabilidade, a soma de todos os seus possíveis valores deve ser igual a 1.

As possíveis entradas de X e Y são 1, 2 e 3. Para todas as 3^2=9 possibilidades, teremos os seguintes valores:

Portanto,

θ+2θ2+3θ3+2θ4+θ5=1

Para o cálculo de E(XY), somamos todas as entradas da tabela multiplicadas pelos valores correspondentes de X e Y.

E(XY)=1⋅1⋅θ1+1⋅2⋅θ2+1⋅3⋅θ3++2⋅1⋅θ2+2⋅2⋅θ3+2⋅3⋅θ4+3⋅1⋅θ3+3⋅2⋅θ4+3⋅3⋅θ5

=θ+4θ2+10θ3+12θ4+9θ5

Finalmente, para o cálculo de E(Y) somamos todas as colunas correspondentes às entradas de Y, e multiplicamos cada uma pelo valor correspondente de Y:

E(Y)=1(θ+θ2+θ3)+2(θ2+θ3+θ4)+3(θ3+θ4+θ5)

=θ+3θ2+6θ3+5θ4+3θ5

Os itens I, II e III estão corretos.

Gabarito: alternativa D.