No longo-prazo, o custo total equivale a 2Y.

Fala pessoal! Professor Jetro Coutinho na área, para comentar esta questão sobre Teoria da Produção. 

A questão nos deu a função Cobb-Douglas Y= K^0,5L^0,5

Além disso, precisamos lembrar que a função Custo Total é dada por: CT = r.K + w.L

onde r é o custo do capital, K é a quantidade de capital, w é o custo do trabalho e L é a quantidade de trabalho.

Por fim, a questão nos disse que r = 1 (ao afirmar que o preço do capital é normalizado para o valor unitário). Bom, se r = 1, w = 2, já que o enunciado afirmou que o preço do trabalho é o dobro do preço do capital (w = 2r, ou seja, w = 2.1 = 2).

Como a questão pede o Custo Marginal (Cmg) de longo-prazo, teremos ambos os insumos variáveis. No longo prazo, a condição de minimização de custo da firma é:

PMgL / PMgK = w / r   

Onde PMgL é a produtividade marginal do trabalho e PMgK é a produtividade marginal do Capital. Como já temos w e r, precisamos descobrir as duas produtividades marginais.

Vamos começar descobrindo a PMgL, derivando a função produção em relação ao trabalho.

Y= K^0,5L^0,5

Ao derivarmos a função acima em relação a L, consideramos o K^0,5 como se fosse uma constante. Aplicando a "regra do tombo", o expoente de L passará a multiplicar toda a equação e, além disso, diminuiremos 1 unidade do expoente de L.


Assim:

dY/dL = K^0,5.0,5.L^0,5-1

dY/dL = 0,5. K^0,5 L^-0,5

Assim:
PMgL = 0,5. K^0,5 L^-0,5

Agora, a PMgK, que aplicando também a regra do tombo, será:

PMgK = 0,5. K^-0,5 L^0,5


Substituindo tudo na condição de minização de custo:

PMgL / PMgK = w / r  

(0,5. K^0,5 L^-0,5) / (0,5. K^-0,5 L^0,5) = 2/1

(0,5. K^0,5 L^-0,5) / (0,5. K^-0,5 L^0,5) = 2


Do lado esquerdo da equação, cortando o 0,5 que multiplica em cima com o 0,5 que multiplica embaixo, temos:

(K^0,5 L^-0,5) / (K^-0,5 L^0,5) = 2



Ainda do lado esquerdo da equação, temos divisão de potências de mesma base. Quando isso ocorre, mantemos a base mas subtraímos os expoentes.

O K ficará assim:

K^0,5/K^-0,5

Nesse caso, mantemos a base e subtrairmos os expoentes. Assim:

K^0,5-(-0,5) = K^0,5+0,5 = K¹


Aplicando a mesma propriedade de potência para o L, o L ficará assim:

L^-0,5/L^0,5

L^-0,5-(0,5) = L^-0,5-0,5 = L^-1

Portanto:

(K^0,5 L^-0,5) / (K^-0,5 L^0,5) = 2


é igual a:

K.L^-1 = 2


Como todo número elevado a menos 1 é igual a ele próprio dividindo:

K/L = 2

K = 2L


Agora que temos o valor de K, podemos substituí-lo na função Cobb-Douglas:

Y= K^0,5L^0,5

Fazendo K = 2L:

Y = (2L)^0,5.L.^0,5
Y = 2^0.5.L.^0,5.L^0,5
Y = 2^0.5.L
L = Y/2^0.5

Substituindo tudo no CT da firma:

CT = rK + wL
CT = 1K + 2L
CT = 1(2L) + 2L
CT = 2L + 2L
CT = 4L

Substituindo L = Y/2^0.5, temos:
CT = 4(Y/2^0.5)
CT = 4Y/2^0.5

Gabarito: Errado