As figuras 1, 2 e 3 descrevem uma sequência denominada númer...

Em cada figura aparece um quadrado com os mesmo número de pontos da largura e

comprimento de acordo com a ordem da figura, e em cima deste quadrado soma-se todos os números

naturais anteriores a este número.

Na figura 2, há um quadrado com 2x2 pontos + 1 (número anterior ao 2)

Na figura 3, há um quadrado com 3x3 pontos + (2 +1) (número anteriores ao 3)

Logo na figura 50 temos:

Há um quadrado com 50x50 = 2500 pontos

 + 49 + 48 + 47 .... 1 = (49+1) .49/2 = 1225


2500 + 1225 = 3725 pontos.

Na primeira posição não existe um quadrado só um ponto, ná na segunda posição temos um quadrado 2x2, na terceira um quadrado 3x3 e assim sucessivamente até 50x50 = 2.500.
Agora os pontos acima são colocados nos pontos médios das posições dos pontos logo abaixo deles, formando uma ponta como se fosse um lápis, note que na figura dois temos 1 ponto, e na figura 3 temos 3 pontos, porém se você fizer a figura 4 e 5 vai notar que serão 6 pontos e 10 pontos, portanto não basta somar 3 ou multiplicar por algum número. Note agora que na figura 2 temos 1 ponto, na figura 3 temos (2+1)=3 pontos, na figura 4 temos (3+2+1) ponots,  então, na figura 50 teremos (49+48+47+...+1) pontos, use a fórmula de Graus, soma de uma PA finita, Sn=(a1+an)*n/2, Sn=(1+49)*49/2, Sn=50*49/2, Sn=25*49 = 1225.
Agora some 2500 + 1225 = 3.725.
Para saber a fórmula da soma de uma PA finita o melhor e entender a lógica do  processo, quando você soma o primeiro termo com o ultimo termo de uma sequência de números, ou uma PA finita, temos um valor, se somarmos o segundo com o penúltimo teremos o mesmo valor, e assim sucessivamente, ora teremos uma sequência de somas de números iguais, porém estes serão pares de números da PA tendo assim a metade dos números de termos da PA, no caso acima temos 49/2 (49 dividido por 2), a soma do primeiro (49) com o último (1) dá 50, agora é só multiplicar (49/2)*50, que dá 49*25, pronto.

A sequência pentagonal é gerada por uma progressão aritmética: {1, 4, 7, 10 ,13, ..., n}, cuja razão igual a 3. Porém, cada termo da sequência gerada pelas figuras é a soma dos n primeiros termos correspondentes da PA . Se calcular o 50º termo da PA, encontrará 148. Depois é só calcular a soma dos 50 primeiros termos. Portanto, a resposta é a letra "e" (3725).

Desculpem se a explicação for um bocado confusa, eu ainda estou tentando processar melhor a questão kk

Vamos a explicação:

Há duas P.A.s conjuntas:

P.A1 (1 , 4, 7) r = 3

P.A2 (1, 5, 12 ...) r = P.A1

Os termos da P.A2 são o quanto aumenta cada valor na P.A1

ex.:

0 + 1 = 1

1 + 4 = 5

4 + 7 = 12

descobrindo a50 da P.A1:

a50 = a1 + (n-1) * r

a50 = 1 + 49 * 3

a50 = 1 + 147

a50 = 148

O Somatório dos 50 termos da P.A1 dão o valor do a50 na P.A2

ex.:

0 + 1 = 1

1 + 4 = 5

4 + 7 = 12

descobrindo S50 da P.A1:

S50 = (a1 + an) * n

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠ2

S50 = (1 + 148) * 50

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠ2

S50 = 149 * 50

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠ2

S50 = 7450

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠ2

(P.A1) S50 = 3725, ou seja

(P.A2) a50 = 3725

GABARITO(E)