A mesma obrigatoriedade para o emprego do sinal de crase em...

 A) Tranquilize-se, aspiro àquela vaga específica, e não à sua.  

 Correto. Verbo ''aspirar'', tendo como sentido ''almejar'', é transitivo indireto. A aglutinação a + aquela, cujo resultado é o fenômeno da crase, é justificável, correta e, sobretudo, obrigatória para que não incorramos em erro. Em contrapartida, no trecho ''e não à sua'' o uso do sinal é facultativo.

B) Dirigiu-se à minha casa, onde ficaria hospedado por alguns dias.

 Incorreto. Para não errar mais: NUNCA, EM HIPÓTESE ALGUMA haverá sinal indicativo da crase diante da palavra "casa" se não houver um termo modificador. No mais, à exceção desse caso, será acolhido o sinal  diacrítico.

Ex.1: Fui à casa da namorada anteontem.

Ex.2: No ponto de ônibus, segredei a um homem que meu sonho era ir à Casa Branca.

Ex.3: Você irá à Casa de Custódia hoje?

Ex.4: Esqueci as chaves, então retornei a casa para buscá-las. (Sem termo modificador, sem ocorrência da crase).

C) Diante de tal demanda, o funcionário colocou-se à sua disposição.

 Incorreto. Observo o erro tão somente em virtude da palavra ''obrigatoriedade'' contida no enunciado. Nessa alternativa, embora corretamente craseado o ''a'', poderia ter sido retirado o sinal sem quaisquer prejuízos, não havendo, portanto, obrigação. 

D) Convocaria à qualquer pessoa que atendesse aos requisitos descritos.  

Incorreto. Não se justifica o sinal, dado que há um pronome indefinido. Sempre que houver um pronome dessa natureza, não poderá existir o sinal diacrítico.

Gabarito A

b) Dirigiu-se à minha casa, onde ficaria hospedado por alguns dias. INCORRETA

Creio que essa afirmativa esteja errada, não pela construção, mas pelo pedido da assertiva que é quanto à obrigatoriedade do acento grave; ou seja, o seu uso é facultado antes de pronomes possessivos femininos, nomes próprios femininos e após a preposição essencial "até". Observe que o substantivo "casa" está qualificado pelo pronome possessivo feminino "minha". Também discordo da afirmação de que a expressão acento diacrítico (que é o acento agudo) possa ser utilizado para se referir ao acento grave, próprio nas ocorrência de crase.

É o que eu aprendi. Corrijam-me se houver incorreções.

Caro, Douglas!

Faço apenas uma correção no seguinte trecho do seu comentário: "Em contrapartida, no trecho ''e não à sua'' o uso do sinal é facultativo."

"e não à sua": neste caso a crase é obrigatória, pois o pronome "SUA" é, na ocasião, um pronome possessivo substantivo (já que substitui um substantivo)... a crase só é facultativa nos casos de pronomes possessivos adjetivos femininos no singular.

Ex.: Enviaram uma encomenda a (à) nossa residência, não à sua.

Nossa = pronome possessivo adjetivo (fica ao lado do substantivo “residência”, crase facultativa)

Sua = pronome possessivo substantivo (substitui o substantivo “residência”, crase obrigatória)

A observação feita pelo(a) último(a) comentador(a) está correta. De fato o SINAL DIACRÍTICO (termo correto, pois serve para designar tanto o acento grave, quanto o agudo e o circunflexo) é obrigatório. Por incúria de minha parte acabei por incorrer em erro. De qualquer maneira, a correção está feita.

Fabiano ria, tinha desejo de esfregar as mãos agarradas à boca do saco....

Fabiano RIA = VI 

Tinha desejo de = VTI

Agarradas à boca do saco = VTI (quem está agarrado, está agarrado A alguma coisa) + a do termo regido BOCA = A+A= À

A) Tranquilize-se, aspiro àquela vaga específica, e não à sua (VAGA).

Note que neste exemplo, a palavra "vaga" está subentendida! Neste caso, incorre em caso OBRIGATÓRIO.

Quem aspira, aspira A alguma coisa, logo VTI.