Se é a solução do problema de valor inicial   então y(p) é ...

Solução:

·  Devemos resolver primeiramente a equação homogênea

Equação homogênea = Y’’ +y=0

a = 1, b = 0 e  c=1

a)  A equação característica associada é

r2 +1 = 0

b) Temos que:

R= +/-√-1

R1= -i

R2= i. Caso 1, raízes complexas.

R1 = ʆ+iB, B>0

R2= ʆ-iB

ß= 1

ʆ=0

c) A solução Geral da EDO é

yh= c1.e^0.cos(x) + c2. e^0.sen(x) 

yh= c1.cos(x) + c2.sen(x)  (1)

·  Cálculo da equação particular

Q(x)=sen(x).

Devemos supor uma equação para yp(x).

Yp(x) =x( A cos(x) +B sen(x))  (2)

Y’’p(x)+yp(x)= sen(x)

e) Derivando (2)y em relação a x pela regra do produto para obtermos:

D= u.v’+u’.v

U=x

V=A.cos(x)+B.sen(x)

Y’(x)=A.cos(x)+B.sen(x)+x(-A.sen(x)+B.cos(x)=

Y’(x)=A.cos(x)+B.sen(x)-A.X.sen(x)+B.X.cos(x)=

Y’(x)=sen(x).(B-A.x)+cos(x).(A+B.x)

Y’(x)=B.sen(x)-A.x.sen(x)+A.cos(x)+B.x.cos(x)  (3)

Derivando pelo produto:

Y’’(x)=B.cos(x)-(A.sen(x)+A.x.cos(x))-A.sen(x)+B.cos(x)-B.x.sen(x)=

Y’’(x)=B.cos(x)-A.sen(x)-A.x.cos(x)-A.sen(x)+B.cos(x)-B.x.sen(x)=

Y’’(x)=2.B.cos(x)-A.x.cos(x)-2.A.sen(x)-B.x.sen(x)=

Y’’(x)=cos(x)(2B-A.x)-sen(x)(2A+B.x)  (4)

Substituindo (2), (3) e (4) na equação não homogênea temos: 

Y’’+y =sen(x)

cos(x)(2B-A.x)-sen(x)(2A+B.x)+ x( A cos(x) +B sen(x))= sen(x)

2B.cos(x)-A.x.cos(x)-2A.sen(x)-Bxsen(x)+Ax.cos(x)+B.xsen(x)= sen(x)

2B.cos(x)-2Asen(x) = sen(x)

Igualando os coeficientes das funções, resulta o sistema:

-2A=1

A=- 1/2

2B=0 : B=0

Substituindo A e B na equação (2) temos: 

Yp(x) =-x/2 cos(x)  (5)

A solução  geral  da equação é (1) + (5):

Y(x)= yh+yp(x)

Y(x)= c1.cos(x) + c2.sen(x) -x/2 cos(x)  (6)

Para y(0)=1 em (6)

1 = c1  (7)

Derivando (6) temos:

Y(x)= c1.cos(x) + c2.sen(x) -x/2 cos(x) 

Y’(x) = -c1.sen(x)+c2.cos(x)-1/2.cos(x)-x/2.sen(x)  (8)

Para y’(0)=-1 em (8)

-1=c2-1/2 : c2=-1/2  (9)

Substituindo (7) e (9) em(6)

Y(x)= cos(x) -1/2.sen(x) -x/2 cos(x)  (10)

Para Y(¶) em (10)

y(¶)=cos(3,14)-1/2.sen(3,14)-3,14/2.cos(3,14)

Cos(¶)=-1

Sen(¶)=0

y(¶)= -1-1/2.0-1,57.(-1)=

y(¶)=-1+1,57 = 0,57

Resposta letra C.

Mesmo eu sabendo responder essa equação aí, deixaria em branco. Melhor deixar uma a várias, por esgotado o tempo!