Analise a figura abaixo:Tratando-se de dois hexágonos regula...

Um hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros.

Área(A)

A = (3L²√3) / 2

Note que a altura dos triângulos equiláteros do hexágono externo é o lado dos triângulos equiláteros do hexágono interno.

L² = h² + (L/2)²

h² = L² - (L/2)²

h² = 3L²/4

h = (L√3)/2 = base do triângulo em destaque

Altura do triângulo em destaque (x)

(L/2)² = x² + [(L√3 / 2)/2]

x² = L²/4 - (L√3/4)²

x² = L²/4 - 3L²/16

x² = (4L - 3L²)/16

√x² =√(L²/16)

x = L/4

Área (a)

a = (b*h)/2

a = ((L√3)/2/2*L/4)/2

a = (L²√3)/8)*1/2

a = L²√3/16

==> a/A = (L²√3/16) / ((3L²√3)/2) = L²√3/16 * 2/3L²√3 = 2/48

a/A = 1/24

Letra A

Sabendo que Soma dos ângulos internos de um polígono é dada por S=180.(n-2), logo o hexágono regular terá 720º como soma dos ângulo, o que determina 120º em cada um dos ângulos internos do hexágono.

Sabendo que a área de um triângulo pode ser calculada através da fórmula: At= (c.d.sen (â))/2 onde c e d são lados adjacentes cujo vértice comum é no ponto A.

Sendo x a medida do lado do hexágono regular, então as medidas dos lados adjacentes que formam o ângulo de 120º desse triângulo são x/2. Com isso a área do triângulo em azul é:

At = ((x/2).(x/2) . sen 120°)/2

At = ((x²/4).(√3/2)/2

At = (x²√3/8)/2

At = (x²√3)/16

Como a área do hexágono regular é dada pela fórmula: Ah=(3x²√3)/2

Logo temos como razão:

At/Ah = ((x²√3)/16) / ((3x²√3)/2)

Divisão de frações -> "a primeira fração multiplicada pelo inverso da segunda"

e fazendo as simplificações:



At/Ah = 1/24