item I: basta inverter a desigualdade (> por <)

Item I

A condição de estacionariedade é que as raízes de Φ(B)=0

estejam fora do círculo unitário:

1−ϕB=0

B=1/ϕ

A raiz estará fora do círculo unitário se o denominador tiver módulo menor que 1. O item I está errado, pois afirmou justamente o contrário.Item II

Observação: na hora da prova você nem precisa perder tempo analisando o item II, pois ele aparecem em todas as alternativas. Logo, com certeza a banca deu o item como correto.

Em todo caso, vamos lá. Vamos resolvê-lo.

Primeiro notem que, garantido que o processo seja estacionário, sua média é nula, vejam:

E(Zt)=E(ϕZt−1)+E(at)

μ=ϕμ+0→μ×(1−ϕ)=0→μ=0

Sendo a média nula, podemos voltar na equação original, e multiplicar todos os lados da igualdade por Zt−j

Zt×Zt−j=ϕZt−1×Zt−j+at×Zt−j

Como a média é nula, podemos subtraí-la de alguns termos que não mudamos a equação:

E[(Zt−μ)×(Zt−j−μ)]=ϕ×E[(Zt−1−μ)×(Zt−j−μ)]

Com isso surgem as covariâncias:

γj=ϕγj−1

Dividindo ambos os termos por γ0, obtemos os coeficientes de correlação:

ρj=ϕ×ρj−1

Como ρ0=1, então a solução geral será:

ρj=ϕj, para j≥0

Em seguida, temos que lembrar que, para ser estacionário, o módulo de ϕ é menor que 1. Mas não sabemos se é positivo ou negativo.

Caso ϕ seja positivo, aí temos uma queda exponencial "usual". Exemplo: ϕ=0,5. Cada ϕj será metade do anterior, caindo exponencialmente.

Caso ϕ seja negativo, a queda continua sendo exponencial (em módulo), mas o sinal vai alternando. Exemplo: ϕ=−0,5. Cada ϕj será metade do anterior (em módulo), mas os sinais vão alterando: um será negativo, o seguinte positivo, o seguinte negativo, etc.

Em todo caso, é sim correto dizer que temos um decaimento exponencial, pois em módulo eles realmente vão decaindo. Em valores absolutos, aí não há sempre queda, por conta das trocas de sinal.

Item certo

Item III

Z^t(h)=ϕ^hZ^t

Item certo.

Item IV

Num processo autorregressivo de ordem "p", a função densidade espectral fica:

Para p=1, que foi o caso desta questão, teremos:

f(λ)=σ2/2π×1/|1−ϕ1e−iλ|2

O item está errado, pois omitiu a parte em vermelho.

Resposta: C