A sequência infinita: a0, a1, a2, a3, ... é definida por: a0...

Resposta: CERTA

O enunciado apresenta que o valor de "n" é igual ou maior do que 1. Por exemplo, para saber o a3 e a4 foi substituído na fórmula o "n" por 1: 

a2n = a2n-1 + a2n-2,       e     a2n+1 = a2n - a2n-1

essa em a2                            essa em a3

substituindo o número 1 no lugar de "n" foi obtido os valores de a3 e a4 da seguinte maneira: 

a2n = a2n-1      + a2n-2

a2x1 = a2x1 - 1 + a 2x1 -2

a2=  a1 + a0

a2= 3 + 1 = 4          a2=4

 

Substituindo o "n" pelo número 1 na segunda fórmula

a 2n + 1= a 2n - a2n-1

a2x1 +1 = a2x1 - a2x1-1

a3 = a2 - a1 (o valor de a2 descobrimos que é 4 e de a1 foi apresentado na questão: a1=3)

a3 = 4 - 3 = 1

 

Agora vamos achar o valor de a4. Nesta caso vamos substituir o valor de "n" por 2 na primeira fórmula

a2n = a2n-1+a2n-2

a2x2= a2x2-1+a2x2-2

a4= a3 + a2 (a3 já foi encontrado, é 1 e a2 é 4)

a4 = 1 + 4 = 5

 

agora na segunda fórmula a2n+1 = a2n - a2n-1 vamos substituir novamente o "n" por 2 para achar o valor de a5

a2n+1 = a2n - a2n-1

a2x2+1= a2x2- a2x2-1

a5= a4 - a3 

a5= 5 - 1 = 4      a5=4

 

Agora vamos achar o a6 e a7, substituindo agora o "n" por 3 nas fórmulas.

a2n = a2n-1 + a2n-2

a2x3= a2x3-1 + a2x3 - 2

a6= a5 + a4

a6= 4 + 5 = 9    a6=9

 

Agora na segunda fórmula vamos achar o valor de a7, novamente substituindo o "n" por 3

a2n+1 = a2n - a2n-1

a2x3+1 = a2x3 - a2x3 - 1

a7= a6 - a5

a7= 9 - 4 = 5

a7= 9 - 4= 5      a7= 5

 

Agora vamos encontrar o a8 substituindo na primeira fórmula novamente e colocando no lugar da letra "n" o número 4

a2n = a2n-1 + a2n-2

a2x4 = a2x4-1 + a2x4-2

a8 = a7 + a6 = 5 + 9

a8=14

 

Agora vamos calcular o a9, substituindo o "n" também por 4 na segunda fórmula 

a2n+1 = a2n - a2n-1

a2x4+1 = a2x4 - a2x4-1

a9= a8 - a7

a9= 14 - 5= 9     a9=9

calculando o a10 substituindo o "n" por 5 na primeira fórmula

a2n = a2n-1 + a2n-2

a2x5= a2x5-1 + a2x5-2

a10= a9 + a8

a10= 9 + 14

a10=23

 

substuindo n=5 na segunda equação para encontrar o a11:  a2n+1 = a2n - a2n-1.    a11= a10- a9 = 23-9 = 14    a11= 14

 

   Observando os valores verifica-se que a2= a5=4 /  a6=a9=9 / a8=a11=14. logo a série sempre vai apresentar valores iguais conforme vamos substituindo o valor de "n" nas equações. 

Colaboração da colega Ariane Chimanski !!!!      vide Q873976

 

 

Existe um jeito bem didático de entender sequências numéricas (vou usar "x" no lugar de "n"):

 

Imagine que você tem um armário com infinitas gavetas.

Você enumera essas gavetas. A primeira é enumareda com um "0", a segunda com um "1", a terceira com um "2" e assim por diante. Dentro de cada gaveta você coloca certa quantidade de alguma coisa (maçãs, bolinhas, dinheiro, você escolhe).

Quando a questão fala em "a₀, a₁, a₂, a₃... aₓ" entenda assim:

—> "₀,₁,₂,₃..." esses números e letras subescritos são o número da gaveta onde você guardou algo.

—> "a" é o que está guardado na gaveta.

 

Assim, se a gaveta "aₓ" for a mesma gaveta "a₇" então x=7. Nesse caso, o que seria a gaveta "aₓ₊₁"? Seria a próxima gaveta "a₇₊₁" que é "a₈". "aₓ₋₂" seria "a₅". Sacou? (Vou usar essa analogia em toda a explicação.)

 

Agora vem a parte legal. A questão dá uma lei que nos permite achar a quantidade guardada em uma gaveta baseado na quantidade guardada em gavetas vizinhas. Veja:

(Usando "x" no lugar de "n")

 

a₂ₓ = a₂ₓ₋₁ + a₂ₓ₋₂ —> traduzindo... se "a₂ₓ" é uma gaveta qualquer, a quantidade guardada nela é igual à soma das quantidades nas                                          duas gavetas anteriores. Consegue ver isso?

 

a₂ₓ₊₁ = a₂ₓ - a₂ₓ₋₁ —> traduzindo... se "a₂ₓ₊₁" é uma gaveta qualquer, a quantidade guardada nela é igual à quantidade na gaveta                                               anterior menos a quantidade na gaveta ante-anterior. Entendeu?

 

Fiz o diagrama abaixo usando essas leis. Vamos usar letras maiúsculas (A, B) para representar as quantidades nas gavetas (a barra não significa divisão; não confunda com uma fração). Veja se consegue entender:

 

    quantidade na gaveta        —>   ...       A       ,       B       ,     A+B     ,     (A+B)-B      ...

gaveta (endereço, posição)    —>          a₂ₓ₋₂          a₂ₓ₋₁           a₂ₓ              a₂ₓ₊₁

 

Como "(A+B)-B" é igual a "A", a sequência pode ser reescrita assim:

 

    quantidade na gaveta        —>   ...       A       ,       B       ,     A+B     ,       A        ...

gaveta (endereço, posição)    —>          a₂ₓ₋₂          a₂ₓ₋₁           a₂ₓ            a₂ₓ₊₁

 

Note que as gavetas "a₂ₓ₋₂" e "a₂ₓ₊₁" guardam a mesma quantidade (A). Isso significa que à medida que aplicarmos essas leis à sequência, haverá um número infinito de gavetas diferentes (podemos chamá-las de "P" e "Q") que guardam a mesma quantidade.

 

Resposta: Certo

 

NOTA: Segundo o enunciado, a gaveta "a₁" guarda a quantidade "3". Esse número é o único da sequência que não se repete. Mas essa exceção não torna a questão errada. A questão não afirma que cada quantidade é guardada por mais de uma gaveta (que todos os números na sequência se repetem pelo menos uma vez). Ela afirma que o número de gavetas (posições, endereços na sequência) que guardam quantidades repetidas é infinito. Sacou?

 

Não seja contaminado pelo conceito comum de que matemática é chata, difícil, tediosa. Tente olhar o lado surpreendente e fascinante de cada problema que resolver. Estuda aê!   ; )

Primeiramente era necessário saber como seria a sequencia e isso foi cobrado na Q873976, é a questão logo em seguida dessa.

 

a sequencia é : 1 , 3 , 4 , 1 , 5 , 4 , 9 , 5 , 14 , 9 , 23 ............. infinitamente ( sabendo que quando A POSIÇÃO é par (a2, a4, a6.. etc) , ele é exatamente a soma dos dois termos anteriores e quando é impar(a3, a5, a7) ele é a subtração dos dois termos anteriores)

 

Podemos perceber que há varias repetições que irão ocorrer infinitas vezes na sequencia, logo vão existir infinitos valores p e q, tais que ap = aq

 

GABARITO: CERTO

 

Bons estudos galera

Temos que

a2n = a2n-1 + a2n-2

a2n+1 = a2n - a2n-1

 

Somando essas duas equações, ficaremos com

 

a2n+1 = a2n-2

 

ou seja, se chamarmos 2n+1 de p e 2n-2 de q, teremos infinitos valores onde ap = aq, já que n pode assumir infinitos valores inteiros

(a2n-2,a2n-1, a2n ,a2n+1,a2n+2) 

Quando for PAR = a2n =SOMA dos 2 termos anteriores (a2n-2,a2n-1) ;

Quando for IMPAR = a2n+1= SUBTRAÇÃO dos 2 termos anteriores (a2n- a2n-1) 

 

Ex: Foi dado

a0 (a2n-2) = 1

 a1 (a2n-1) = 3; 

a2 (a2n)  = PAR = SOMA dos dois anteriores = a1 (a2n-1) + a0 (a2n-2)   = 4 

a3 (a2n+1) = IMPAR = SUBTRAÇÃO dos dois anteriores = a2 (a2n) -a1 (a2n-1) = 4-3 = 1

a4 (a2n) =  PAR = SOMA dos 2 termos anteriores =  a3 +a2 = 1+4 = 5

=> Para a4 ,  a3 irá funcionar como (a2n-1) ; a2 irá funcionar como (a2n-2) 

 

E assim prossegue, acredito que tenha esclarecido um pouco a lógica  da Progressão.