Em um setor de uma empresa, trabalham 3 geólogos e 4 engen...

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Q86417

Q86417 Matemática

Em um setor de uma empresa, trabalham 3 geólogos e 4 engenheiros. Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podem ser formadas com, pelo menos, 1 geólogo?

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De acordo com o enunciado, trata-se de uma Combinação.
Genericamente, o número de combinações de n elementos distintos, tomados k a k, indicado por C_n,k é dado por:

C_n,k= n! / k! (n - k)! , para n >= k

No caso em questão, utilizando todos os profissionais, tem-se n = 7 e k = 3. Assim:
C_7,3= 7! / 3! 4! = 210 / 6 = 35 comissões

Calculando agora o número de comissões que não possuem geólogos (n = 4 e k = 3).
C_4,3= 4! / 3! 1! = 4 comissões

Finalizando,
(total de comiss.) - (comiss. que não possuem geólogo) = (comiss. que possuem pelo menos um geólogo)

35 - 4 = 31 comissões diferentes de 3 pessoas formadas com, pelo menos, 1 geólogo.

Resposta B)

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Podemos resolver a questão da seguinte forma: calculamos a quantidade de combinaçoes possíveis e subtraimos as combinações sem geólogos.

7!/(3!4!) - 4!/(3!1!) = 5040/144 - 24/6 = 35 - 4 = 31

Resolução:

Comissão formada por 3 pessoas sendo pelo menos 1 geólogo

1G e 2E C3;1 x C4;2 = 3 X 4X3/2 = 18
2G e 1E C3;2 X C4;1 = 3X2/2 X 4 = 12
3G               C3;3 = 1
                                                           = 31

G= GEÓLOGO
E= ENGENHEIRO
C= COMPLEMENTO

Existem 3 possibilidades de existir pelo menos 1 geólogo numa comissão de 3:
g e e = C_3,1*C_4,2 = (3*2/2)*(4*3*2/2*2) = 3*6 = 18
g g e = C_3,2*C_4,1 = (3*2/2)*(4*3*2/3*2) = 3*4 = 12
g g g = C_3,3 = 3*2/3*2 = 1
Total = 31 possibilidades

Primeiramente devemos considerar as 3 possibilidades separadamente:

Possibilidade de haver 1 geologo dentre as 3 pessoas da comissão
Possibilidade de haver 2 geologos dentre as 3 pessoas da comissão
E, a Possibilidade de haver 3 geológos dentre as 3 pessoas da comissão.

Assim sendo:

1 Geólogo C _{5,3 =}      5!      =   5 . 4 . 3 !   =    20   = 10
3! . 2! 3! . 2! 2

2 Geólogos C _{6,3 =}      6!      =   6 . 5 . 4 . 3 !   =    120    = 20
3! . 3! 3! . 3! 6

3 Geólogos C _{3,3 =}     3 !      = 1
3! . 1

Como nenhuma das 3 situações devem ocorrer ao mesmo tempo, o resultado da questão é a soma das 3 possibilidades
Assim sendo:

10 + 20 + 1 = 31 Comissões diferentes tendo no mínimo 1 geólogo cada uma. :- )

xD'

Eu acho mais fácil fazer a questão ao contrário.

1º encontrar a possibilidade total, independente de saber se tem E (engenheiros) ou G (geólogos).
Então, usando a fórmula, temos 7 profissionais, a serem tomados 3 a 3.

C_(7,3)= 7! = 35 possibilidades totais
3! (7-3)!

2º encontrar o que não queremos, ou seja, comissões sem geólogos.
Usando a fórmula, temo 4 profissionais (E), tomados 3 a 3.

C_(4,3)= 4! = 4 possibilidades que não queremos
3! (4-3)!

3º subtrair do total aquilo que não queremos.

_ 35
4
31

Portanto, resposta 31 possibilidades.

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