Em um setor de uma empresa, trabalham 3 geólogos e 4 engen...
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Ano: 2011
Banca:
CESGRANRIO
Órgão:
Petrobras
Provas:
CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle Júnior
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CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Logística de Transporte Júnior - Controle |
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CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Projetos, Construção e Montagem Júnior - Estruturas Navais |
CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Comercialização Logística Júnior |
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CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Projetos, Construção e Montagem Júnior - Mecânica |
CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Suprimentos de Bens e Serviços Júnior - Elétrica |
CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Suprimentos de Bens e Serviços Júnior - Administração |
CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Suprimentos de Bens e Serviços Júnior - Mecânica |
CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Projetos, Construção e Montagem Júnior - Edificações |
CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Telecomunicações Júnior |
CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico Químico de Petróleo Júnior |
Q86417
Matemática
Em um setor de uma empresa, trabalham 3 geólogos e 4 engenheiros. Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podem ser formadas com, pelo menos, 1 geólogo?
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De acordo com o enunciado, trata-se de uma Combinação.
Genericamente, o número de combinações de n elementos distintos, tomados k a k, indicado por Cn,k é dado por:
Cn,k = n! / k! (n - k)! , para n >= k
No caso em questão, utilizando todos os profissionais, tem-se n = 7 e k = 3. Assim:
C7,3 = 7! / 3! 4! = 210 / 6 = 35 comissões
Calculando agora o número de comissões que não possuem geólogos (n = 4 e k = 3).
C4,3 = 4! / 3! 1! = 4 comissões
Finalizando,
(total de comiss.) - (comiss. que não possuem geólogo) = (comiss. que possuem pelo menos um geólogo)
35 - 4 = 31 comissões diferentes de 3 pessoas formadas com, pelo menos, 1 geólogo.
Resposta B)
Genericamente, o número de combinações de n elementos distintos, tomados k a k, indicado por Cn,k é dado por:
Cn,k = n! / k! (n - k)! , para n >= k
No caso em questão, utilizando todos os profissionais, tem-se n = 7 e k = 3. Assim:
C7,3 = 7! / 3! 4! = 210 / 6 = 35 comissões
Calculando agora o número de comissões que não possuem geólogos (n = 4 e k = 3).
C4,3 = 4! / 3! 1! = 4 comissões
Finalizando,
(total de comiss.) - (comiss. que não possuem geólogo) = (comiss. que possuem pelo menos um geólogo)
35 - 4 = 31 comissões diferentes de 3 pessoas formadas com, pelo menos, 1 geólogo.
Resposta B)
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Comentários
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Podemos resolver a questão da seguinte forma: calculamos a quantidade de combinaçoes possíveis e subtraimos as combinações sem geólogos.
7!/(3!4!) - 4!/(3!1!) = 5040/144 - 24/6 = 35 - 4 = 31
7!/(3!4!) - 4!/(3!1!) = 5040/144 - 24/6 = 35 - 4 = 31
Resolução:
Comissão formada por 3 pessoas sendo pelo menos 1 geólogo
1G e 2E C3;1 x C4;2 = 3 X 4X3/2 = 18
2G e 1E C3;2 X C4;1 = 3X2/2 X 4 = 12
3G C3;3 = 1
= 31
G= GEÓLOGO
E= ENGENHEIRO
C= COMPLEMENTO
Comissão formada por 3 pessoas sendo pelo menos 1 geólogo
1G e 2E C3;1 x C4;2 = 3 X 4X3/2 = 18
2G e 1E C3;2 X C4;1 = 3X2/2 X 4 = 12
3G C3;3 = 1
= 31
G= GEÓLOGO
E= ENGENHEIRO
C= COMPLEMENTO
Existem 3 possibilidades de existir pelo menos 1 geólogo numa comissão de 3:
g e e = C3,1*C4,2 = (3*2/2)*(4*3*2/2*2) = 3*6 = 18
g g e = C3,2*C4,1 = (3*2/2)*(4*3*2/3*2) = 3*4 = 12
g g g = C3,3 = 3*2/3*2 = 1
Total = 31 possibilidades
g e e = C3,1*C4,2 = (3*2/2)*(4*3*2/2*2) = 3*6 = 18
g g e = C3,2*C4,1 = (3*2/2)*(4*3*2/3*2) = 3*4 = 12
g g g = C3,3 = 3*2/3*2 = 1
Total = 31 possibilidades
Primeiramente devemos considerar as 3 possibilidades separadamente:
Possibilidade de haver 1 geologo dentre as 3 pessoas da comissão
Possibilidade de haver 2 geologos dentre as 3 pessoas da comissão
E, a Possibilidade de haver 3 geológos dentre as 3 pessoas da comissão.
Assim sendo:
1 Geólogo C 5,3 = 5! = 5 . 4 . 3 ! = 20 = 10
3! . 2! 3! . 2! 2
2 Geólogos C 6,3 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 ! = 120 = 20
3! . 3! 3! . 3! 6
3 Geólogos C 3,3 = 3 ! = 1
3! . 1
Como nenhuma das 3 situações devem ocorrer ao mesmo tempo, o resultado da questão é a soma das 3 possibilidades
Assim sendo:
10 + 20 + 1 = 31 Comissões diferentes tendo no mínimo 1 geólogo cada uma. :- )
xD'
Eu acho mais fácil fazer a questão ao contrário.
1º encontrar a possibilidade total, independente de saber se tem E (engenheiros) ou G (geólogos).
Então, usando a fórmula, temos 7 profissionais, a serem tomados 3 a 3.
C(7,3) = 7! = 35 possibilidades totais
3! (7-3)!
2º encontrar o que não queremos, ou seja, comissões sem geólogos.
Usando a fórmula, temo 4 profissionais (E), tomados 3 a 3.
C(4,3) = 4! = 4 possibilidades que não queremos
3! (4-3)!
3º subtrair do total aquilo que não queremos.
_ 35
4
31
Portanto, resposta 31 possibilidades.
1º encontrar a possibilidade total, independente de saber se tem E (engenheiros) ou G (geólogos).
Então, usando a fórmula, temos 7 profissionais, a serem tomados 3 a 3.
C(7,3) = 7! = 35 possibilidades totais
3! (7-3)!
2º encontrar o que não queremos, ou seja, comissões sem geólogos.
Usando a fórmula, temo 4 profissionais (E), tomados 3 a 3.
C(4,3) = 4! = 4 possibilidades que não queremos
3! (4-3)!
3º subtrair do total aquilo que não queremos.
_ 35
4
31
Portanto, resposta 31 possibilidades.
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