Para x > 0, seja Sx a soma O númer...

Letra B

Os termos formam uma P.G. infinita de razão q = 2^(-x), pois {4^(-x)}/{2^(-x)} = {8^(-x)}/{4^(-x)} =  2^(-x)

A soma da P.G. infinita é S=a1/(1-q)

a1 =  2^(-x)

q =  2^(-x)

S = 1/4 (pelo enunciado)

Logo, 1/4 =  2^(-x)/ {1- 2^(-x)}

4. 2^(-x) = 1 -  2^(-x)

5. 2^(-x) = 1

2^(-x) = 1/5

2^(x) = 5

x = log{2} 5                 (logaritmo de 5 na base 2)

Vamos por panos, sem formula. 

Seja S_x = Somatoria{2^(-nx)} com n=1..Infinity. Pois bem, vamos considerar a somatória parcial até m. 

S_x = 2^(-x) + 2^(-2x) + 2^(-3x) + 2^(-4x) + 2^(-5x)  ... + 2^(-(m-1)x) 
2^(-x) * S_x = 2^(-2x) + 2^(-3x) + 2^(-4x) + 2^(-5x)  ... + 2^(-mx) 
"Apenas multipliquei por 2^(-x) a primeira linha."

Agora tomando a difença e sabendo que S_x = 1/4 e cancelando a galera igual do lado direito, sobrando apenas os em negrito, segue:

Detalhe para 2^(-m) = 1/(2^m) < 1 [m natural, 1/2 , 1/4 , 1/8 .....] quanto maior m fica 2^(-mx) fica "perto" de 0 quando a sequência cresce. x é a constante e a sequência sendo limitade por 1 e multiplicada por 0, temos que vai para zero. 

1/4 - 2^(-x)*1/4 = 2^(-x) - 2^(-mx)  =>  (1/4) * ( 1 - 2^(-x) ) = 2^(-x) =>  (2^(-x)) = 1/5, agora aplica log_2 e log_2(2) = 1 temos que -x = log_2(1/5) => x = log_2(5)

Por que tudo isso? Fica claro o porquê a razão é 2^(-x) quando tomada as parciais. Se você olhar isso não tem milagre. Deixem os milagres para português e informática.. lá só deus sabe o que os ...

Essa é uma questão que existem várias formas de resolver, mas também é muito chata se o sujeito enveredar pelo caminho da simplificação de potências de mesma base. Perde tempo e é totalmente desnecessário, porém proposital da questão.

Pra começar se trata de uma PG infinita cuja soma é 1/4.

Então, 1/4 = [(2^-x)/(1-(2^-x)]

Pode fazer agora se quiser a substituição de variável, ou seja, 2^-x = y;

Então, 1 - y = 4 y

y = 1/5

Pois que, 2^-x = 5^-1, ou seja, Log_2 (5^)-1 = -x

ou seja, - Log_2 (5) = -x, portanto, Log_2 (5) = x, resposta Letra B.

Ou ainda, -x Log_10 (2) = - log_10 (5)

x = Log_2 (5)

Gente como que se resolve uma questão dessas em apenas três minutos que provavelmente deve ser o tempo máximo para resolver cada questão.

Fiz essa questão só porque paguei Cálculo IV na faculdade kkkk

É uma série geométrica;

r = 1/(2^x) -> termo que dá a forma a série

a = 1/(2^x) -> primeiro termo da série

A soma da série é dada por a/(1-r)

Substitui tudo e vai ficar;

1/(2^x - 1) = 1/4

2^x - 1 = 4

2^x = 5

x = log_2(5)