O primeiro, segundo e terceiro termos de uma progressão arit...

a1 = - x² - 6;

a2 = a1 + c = x => - x² - 6 + c = x => c = x² + x + 6; (o "c" representa a razao da PA)

a3 = a2 + c = 9 => x + c = 9 => c = 9 - x;

x² + x + 6 = 9 - x => x² + 2x - 3 = 0 => x1 = 1; e x2 = - 3.

como x é negativo: x = -3

substituindo x = - 3 nos temos a1, a2 e a3 temos:

a1 = - 15

a2 = - 3

a3 = 9

continuando a sequencia temos:

a4 = 21

a5 = 33.

" C "

Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento, é a soma do seu antecessor por uma constante. 

Ex:  5, 7, 9, 11 ...

Os elementos/termos acima são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. 

Podemos tbm dizer que, a razão é igual a diferença entre o terceiro e o segundo termo e igual a diferença entre o segundo e o primeiro termo, portanto: 
9 – x  =  x -  ( - x^2 – 6 )                                                           a1 = - x² - 6  ,  a2 =  x   ,  a3 =  9

Resolve a equação e verifica quais das soluções atendem os critérios do enunciado, lembrando que no enunciado diz “sendo x  um número negativo”.

9 – x  =  x -  ( - x^2 – 6 )   

9 – x  =  x  + x^2 + 6

9 –  x  -  x  -  x^2 - 6 = 0

3 – 2x – x^2  = 0   (x -1)     ->   x^2  + 2x - 3 = 0

Raízes : 1 , - 3                      ( Só nos interessa a solução negativa,  x = - 3) . Achamos o x, agora saberemos quais são os termos :

a1 = - ( - 3) ^2 – 6

a1 = - ( 9 ) – 6 =

a1 = -15         a2 = - 3    e    a3 = 9

Logo, o quinto termo :

an = a 1 + (n -1) . r  

# 1º achar a Razão :

r =    a2  -  a1
r =  - 3  -  (-15)
r = - 3   +  15
r = 12                                       

# 5º termo:

an = a1 + (n - 1) x r

a5 = - 15  +  (5 - 1) x 12
a5 = - 15  + (4) x 12
a5 = - 15  +  48

a5 = 33

 SO COR RO !!!

Questão chata, longa e cansativa.. típica da UFES!

:/