Considerando X e Y como variáveis aleatórias independentes...

Alternativa correta: D

Tema central da questão: Esta questão aborda conceitos fundamentais sobre distribuições estatísticas, que são cruciais na econometria e nas análises de dados. Em particular, a questão explora as características e propriedades de distribuições estatísticas específicas, como a normal, chi-quadrado e Poisson.

Resumo teórico:

• Distribuição Normal: Uma variável aleatória com distribuição normal é definida por sua média e variância. Quando duas variáveis independentes têm distribuições normais, suas combinações lineares também seguem uma distribuição normal.
• Distribuição Chi-Quadrado: É uma distribuição usada principalmente em testes de hipóteses e análise de variância. Para uma variável chi-quadrado com m graus de liberdade, a média é m e a variância é 2m.
• Distribuição Poisson: Esta distribuição é comumente usada para modelar o número de eventos em um intervalo de tempo fixo. A média e a variância de uma variável Poisson são ambas iguais ao parâmetro m.

Justificativa para a alternativa correta:

A alternativa D está correta porque descreve com precisão a distribuição chi-quadrado. Se X segue uma distribuição chi-quadrado com m graus de liberdade, a média realmente é m e a variância é 2m. Estas são propriedades fundamentais da distribuição chi-quadrado e são amplamente reconhecidas em literaturas estatísticas.

Análise das alternativas incorretas:

• A: A razão de duas variáveis normais padrão independentes segue uma distribuição Cauchy, não uma distribuição F.
• B: Se X e Y são variáveis normais com média a e variância b, então X-Y segue uma distribuição normal com média 0 e variância 2b.
• C: A função exponencial de uma variável normal não segue uma distribuição exponencial. Esta alternativa confunde a transformação de variáveis com a distribuição resultante.
• E: Na distribuição Poisson, a média e a variância são iguais ao parâmetro m, não 2m.

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A) Se X e Y seguem distribuição normal padrão, então X /Y segue distribuição F.

Errado. Não segue a distribuição F de Snedocor, mas a distribuição de Cauchy - Lorentz.

B) Se X e Y seguem distribuição normal com média a e variância b, então X-Y segue distribuição normal com média a e variância b /2.

Errado. Média = a+a e Variância = b+b (se forem independentes entre si).

C) Se X segue distribuição normal padrão, então ex, em que e é a base do logaritmo natural, segue distribuição exponencial.

Errado. Na realidade, a função da distribuição exponencial é dada por: 1 - e^-lambda.x

D) Se X segue distribuição chi-quadrado (central) com m graus de liberdade, então sua média é igual a m e sua variância é igual a 2m.

Correto.

E) Se X segue distribuição Poisson com parâmetro m, então sua média é igual a m e sua variância é igual a 2m.

Errado. Parâmetro = média = variância