Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuição binomial c...

binomial:
p (X = x) = (n x)*(p^x)*(1-p)^(n-x)
p (X = 1) = (2 1)*p*(1-p) = 4/9
logo p = 1/3
o P (1 ≤ Y ≤ 3) = somatório de (n x)*(p^x)*(1-p)^(n-x), com x variando de 1 a 3, n = 4 e p = 1/3
essa conta dá: 64 / 81

questão desgracenta

Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuição binomial com parâmetros dados, respectivamente, por (n = 2, p) e (n = 4, p).

QUESTÃO: Se P ( X = 1) = 4/9, então P (1 ≤ Y ≤ 3) é igual a:

TRADUÇÃO: se a probabilidade de x=1 (ou seja, "sucesso") for 4/9, então a probabilidade de Y estar entre 1 e 3 é...?

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P(x=k)= C(n,k).p^k.q^(n-k)

P (x=1) = C (2,1).p^1.q^(2-1) = 4/9

P (x=1) = 2.p.q = 4/9

#q é igual a 1-p

P(x=1) = 2 . p . (1 - p) = 4/9

P(x=1)= 2p - 2p² = 4/9

#dividindo tudo por 2

P (x=1) = p - p² = 2/9

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chegamos a uma fórmula do 2º grau

• p² - p + 2/9 = 0

• a=1
• b= -1
• c = 2/9

p = [1+-raiz(1-4.1.2/9)]/2

p = [1+- raiz(1/9)]/2

p = [1 +-1/3]/2

¹p= 1/3

²p= 2/3

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Voltando P (1 ≤ Y ≤ 3) = 1 - [P(Y=0) - P (Y=4)]

TRADUÇÃO: a probabilidade de Y estar entre 1 e 3 é igual ao total (1) menos a parte que não interessa aqui, que é Y ser menor que 1 (ou seja, 0) ou ser maior que 3 (ou seja, 4).

¹p= 1/3

então o q= 2/3

n = 4

P(Y=k)= C(n,k).p^k.q^(n-k)

P(Y=0)= C(4,0).p^0.q^(4-0)

P(Y=0)= 1.1.q^4

P(Y=0)= q^4

P(Y=0)= (2/3)^4

P(Y=0)= 16/81

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P(Y=k)= C(n,k).p^k.q^(n-k)

P(Y=4)= C(4,4).p^4.q^(4-4)

P(Y=4)= 1.p^4.1

P(Y=4)= p^4

P(Y=4)= (1/3)^4

P(Y=4)= 1/81

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[P(Y=0) - P (Y=4)] = 16/81+ 1/81 = 17/81

não fiz com ²p porque teriamos apenas resultados inversos

P (1 ≤ Y ≤ 3) = 1 - 17/81 = 64/81

GAB:A

Eu descobri que podemos utilizar qualquer uma das duas raízes, depois de resolver bháskara (2/3 e 1/3) para calcularmos o Y.

Aí somamos as tres probabilidades p(y=1) + p(y=2) + p(y=3)