Seja f uma função real de variável real tal que f(1) = -2 e ...

f(1) = -2

f'(1)= (f - f(1) ) / (x - 1) = 4

Logo, f = 4x -4 - 2 = 4x - 6

O valor de f(4) = 4(4) -6 = 10 ^^

Continuemos acreditando que uma hora chega!

nao entendi

O que o amigo fez foi encontrar a equação da reta tangente.

Foi dado que f'(x)>=4. Se f'(x)=4, significa que f(x) era uma reta (com a derivada o x sumiu). Além disso, f'(x) = coeficiente angular = "a" da equação y=ax+b. Com o coeficiente angular (como no enunciado pede valor máximo, usamos a=4) e com esses valores informados, podemos encontrar a reta tangente nesse ponto, que foi o que o Marcelo fez. Acredito que seja isso.

utilizar o teorema do valor médio.

Utilizando-se a definição de derivada através do limite:

f '(p) = lim x-->p [ ( f(x) - f(p) ) / (x - p) ]

f '(1) = f(x) - f(1) / x - 1

como essa função é diferenciável para todo x com f '(x) <= 4, segue que:

4 = f(x) - (-2) / x - 1

4x - 4 = f(x) + 2

f(x) = 4x - 6

portanto, o valor máximo de f(4) é dado por:

f(4) = 4.4 - 6

f(4) = 10