Pode-se afirmar que:

Solução rápida!!!!!!Some todas as equaçõesax+2x+ay+2y+az+2z=a^2+a+1x(a+2)+y(a+2)+z(a+2)=a^2+a+1(x+y+z).(a+2)=a^2+a+1x+y+z=(a^2+a+1)/(a+2)Para que tenha solução o denominador deve ser diferente de zero então o a será diferente de 2

Que Alá tenha piedade de nós!!!

Somente um detalhe sobre o comentário de Daniel o a têm que ser diferente de -2.

Organizando um pouco a resposta do colega Daniel Oliveira:
Sistemas:
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + az = a²

Soma das equações:
ax + ay + az + 2x + 2y + 2z = a² + a + 1
a ( x + y + z ) + 2 ( x + y + z) = a² + a + 1
(a+2) . (x+y+z) = a² + a + 1
x + y + z = .  a² + a + 1  
                        a + 2

Então, para que x + y + z pertença ao conjunto dos números Reais é necessário que
a + 2 ≠ 0
Logo, a ≠ -2

Bons estudos!!