Sabe-se que o quadrado de um numero natural k e maior que se...

Gab: C

Vamos lá, 

Quadrado de um número natural k ==> k² 

é maior que seu quintúplo somado com 6 => k² > 5k+6 

k²-5k-6 > 0 

fatore essa expressão (ou resolva ela por Bháskara para encontrar os valores em que K, ao substituído na equação, dá zero): 
k²-5k-6=(k-6).(k+1) 
(k-6).(k+1) > 0 

Para esse produto ser maior que zero,os dois fatores tem que ser positivos ou os dois fatores tem que ser negativos 
k-6=0 => k=6 

k-6 será positivo quando k > 6 e negativo para k < 6 
k+1=0 => k=-1. 

k+1 será positivo quando k > -1 e negativo quando k < -1 

interseção dos intervalos positivos: 
]6,∞[ int ]-1,∞[ = ]6,∞[ 

interseção dos intervalos negativos: 
]-∞,-1[ int ]-∞,6[ => ]-∞,-1[ (não convém esse intervalo) 

logo,a solução é k > 6 (natural) 

Fonte: https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20150206044526AAMFogx
 

Eu montei a inequação: k² > 5k + 6, e daí fui substituindo cada alternativa. Não sei se é o melhor método para fazer, mas foi o mais produtivo para essa questão.

K² > 5k + 6

6² > 5*6 + 6

36 > 30 + 6

36 = 36

então

K tem que ser maior que 6

resposta letra C