Dado um triângulo equilátero ABC, prolonga-se o lado AB, no ...

Eu tentei fazer da melhor forma possível, assim que cheguei no gabarito, se caso eu estiver errado peço por favor que me corrijam.

https://ibb.co/rpYmy2Z ( ver a imagem nesse link pois não conseguir upá-la no comentário)

Primeiro vamos encontrar o valor de Y. Como temos um triângulo retângulo, utilizaremos o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de Y. Sendo assim, temos:

(2X)² = X² + Y²

4X² = X² + Y²

3X² = Y² (aplica-se raiz quadrada dos dois lados para eliminar o expoente)

X√3 = Y (guardar essa igualdade)

O Triangulo BCD é um triangulo isósceles, uma vez que possuem dois lados de mesmo tamanho (ver figura inicial), além de dois ângulos de mesmo valor.

A altura do triangulo BCD pode ser encontrada ligando o ponto B ao ponto médio da reta Y formando dois triângulos retângulos. Como trata-se do ponto médio, o valor destacado na imagem vai ter o valor de Y/2. Portanto, utilizando novamente o teorema de Pitágoras podemos encontrar o valor de h, sendo assim, temos:

X² = (Y/2)² + h²

lembra que encontramos o valor de Y ali em cima, pois bem, vamos substituir nesse ponto.

X² = [(X√3)/2]² + h²

X² = (3X²)/4 + h² (fazemos o mmc entre 1 e 4)

4x² = 3X² + 4h²

X² = 4h² (Novamente, aplica-se raiz quadrada dos dois lados para eliminar o expoente)

X = 2h

h = X/2

Com os valores de h e Y encontrados, podemos prosseguir pro cálculo da área de cada triângulo pedido no exercício.

Devemos lembrar que a área do triângulo é (base x altura) / 2

Para o triângulo ACD:

A1 = (Y * X)/2

A1 = [(X√3)*X]/2

A1 = (X²√3)/2

Para o Triângulo BCD:

A2 = (Y*h)/2

A2 = (X√3 * x/2)/2

A2 = (X²√3)/4

Sabemos que a razão é a área do triângulo ACD / área do triângulo BCD

A1/A2 = [(X²√3)/2] / (X²√3)/4 (podemos multiplicar o primeiro pelo inverso do segundo)

A1/A2 = [(X²√3)/2] * [4 / (X²√3)] (aqui podemos dividir em cima e embaixo por X²√3)

A1/A2 = 4/2

A1/A2 = 2

GABARITO C

O triângulo equilátero possui os 3 lados iguais, considerando que a medida de cada lado é x, temos o seguinte desenho:

O lado prolongado (BD) vai possuir a mesma medida dos demais lados do triângulo equilátero, conforme o enunciado, ou seja, x

A fórmula para cálculo da área de um triângulo equilátero é:

(L²√3)/4

L= lado

Assim, a área do triângulo ABC será: (x²√3)/4

A fórmula para cálculo da área dos demais triângulos é:

(b.h)/2

b= base e h= altura

Temos o valor da base do novo triangulo ACD = x, a hipotenusa = 2x e precisamos calcular a altura dele para saber a área:

hip ² = base² + h²

(2x)² = (x)² + h²

h = x√3

Assim, a área do triângulo ACD será:

(b.h)/2

(x.x√3)/2 = (x²√3)2

Por fim, a razão entre a área do triângulo ACD e a área do triângulo BCD é:

(x²√3)2 / (x²√3)/4 = 2

Gab C

Utilizei a fórmula da área, pois se aplica a qualquer triângulo, como a altura de C para a base permanece a mesma, logo:

Triângulo ABC

A = b.h/2

Triângulo BCD

A = 2.b.h/2 (corto o divisor 2 com o multiplicador 2)

A = b.h

Ao observarmos a fórmula pode-se perceber que uma é a metade da outra, ou seja o BCD é o dobro.

Fiz de forma simples e rápida:

http://sketchtoy.com/70461170

AACD/ADCD = 6+h/2/3+h/2 = 6/2 = 3

GAB.:C