Uma permutação de um número natural é um outro número natu...

Essa questão é resolvida por Análise Combinatória, assim:

Iniciando com o número:

1 xxxx terá 4! = 24
2 xxxx terá 4! = 24       
3 xxxx terá 4! = 24        
4 1xxx terá 3! = 6

Somando todas essas possibilidades: 

24 + 24 + 24 + 6 = 78 posições

Continuando:

42135 (ocupa a posição 79)
42153 (ocupa a posição 80).


Resposta: Alternativa E.

Sabendo-se que temos 5 números sem nenhuma restrição na permutação {1,2,3,4,5}, primeiramente temos que conhecer quantas possibilidades são no total!

5! = 5x4x3x2x1 = 120 possibilidades, como o exercício pede a posição 80 faz-se:

Se começasse com 1:

1 _? ? ? ? ? - teríamos uma permutação de 4! = 4x3x2x1 = 24 possibilidades

Se começasse com 2:

2 _? ? ? ? ? - teríamos uma permutação de 4! = 4x3x2x1 = 24 possibilidades

Se começasse com 3:

3 _? ? ? ? ? - teríamos uma permutação de 4! = 4x3x2x1 = 24 possibilidades

Se começasse com 4:

4 _? ? ? ? ? - teríamos uma permutação de 4! = 4x3x2x1 = 24 possibilidades

24 possibilidades x 4 = 96, então a posição número 80 está com a permutação começando com 4

Assim o segundo menor número depois do 4 é o 1 e temos:

4 1 _ ? ? ? - teríamos uma permutação de 3! = 3x2x1 = 6 possibilidades

Como já foram testadas 24 + 24 + 24 + 6 = 78, estamos a 2 posições para saber a resposta.

O terceiro menor número tendo já escolhido o 4 e o 1, é o número 2

4 1 2 _ ? ?  - Sobram os números 3 e 5

Como o número 3 <  5, logo a primeira posição é 4 1 2 3 5 = Posição crescente número 79

Invertendo o número 3 com 5, tem-se 4 1 2 5 3 = Posição número 80

Resposta letra: E

O número 31452 pode ser representado pelo seguinte conjunto que representa seus números: A= {1,2,3,4,5}.

A quantidade total de números possíveis a serem escritos utilizando esse conjunto é dado pela permutação dos elementos do conjunto, que pode ser representado pelo fatorial da quantidade de elementos. Como são 5 elementos, então: 
5! = 120 (possibilidades)

Exemplos dessas possibilidades seriam: 12345, 12354, 12435...54321. Perceba que, se todos os números forem colocados em ordem, o primeiro número seria 12345 e o último seria 54321. Eu acho que você não gostaria de escrever todos os 120 e depois colocá-los em ordem. Então vamos seguir :)

O primeiro número começa pelo número 1. Se você mantiver sempre o número 1 no começo do número a ser formado, quantos números você pode formar com os elementos que sobraram {2,3,4,5}? Veja:

1 _ _ _ _ (perceba que você deve fazer a permutação dos 4 espaços vazios)

Então, a quantidade de possibilidades de se formar números que começam com o número 1 é o resultado da permutação dos elementos que sobraram. Como o conjunto era formado pelos elementos {1,2,3,4,5}, o novo conjunto será formado pelos elementos {2,3,4,5} e a quantidade de permutações possíveis é 4! = 24.

Por isso os 24 primeiros números sempre começarão com o número 1. O primeiro número você já sabe que é 12345. E o último número? É só pensar um pouco: 15432 (veja que coloquei o número 1 na frente e depois fui ordenando pelos maiores números disponíveis)

Os próximos 24 (do 25º ao 48º) começarão com o número 2, pois você está formando uma lista ordenada crescentemente. Então já temos os primeiros 48 números (24 que começam com número 1 mais os 24 que começam com o número 2).

Os próximos 24 (do 49º ao 72º) deverão começar com o número 3. Certo. Já temos os primeiros (24+24+24) 72 números. Se você quiser saber qual é o 72º número, você já saberia que ele começa com 3. Como ele deve ser o maior de todos os números que começam com 3, então você deve ordenar do mesmo jeito que fizemos acima: 35421 (esse é o maior número iniciando com 3).

PARTE 2

Faltam só 8 número para se chegar ao 80º.

Os próximos 24 (do 73º ao 96º) deverão começar, necessariamente, com o número 4. A questão pede um número que está nessa faixa, então a resposta deve começar com o número 4. Se você tivesse que chutar, já teria 50% de chance de acertar :)

Com o mesmo princípio, vamos fixar o 4 na primeira posição e trabalhar a permutação dos outros elementos {1,2,3,5}.
4 _ _ _ _

Se você está trabalhando em uma lista de ordem crescente, o próximo número depois do 4 só pode ser o 1, pois ele é o menor elemento da lista {1,2,3,5}. Então ficaria assim:
4 1 _ _ _

Restou uma permutação de 3 espaços, que é igual a 3! = 6. Essa permutação será feita entre os elementos {2,3,5}.

A gente tinha descoberto os primeiros 72 números. Agora descobrimos os próximos 6, então já temos os 72 + 6 = 78 primeiros números e ainda não chegamos lá. Vamos então, ao invés de fixar o 1, fixar o 2, que é o próximo número em ordem crescente, e permutar o restante {1,3,5}:
4 2 _ _ _

Você já viu que a resposta deverá iniciar com 42 _ _ _, e só a letra "E" começa com isso. Marque a resposta e vá pra próxima questão.

Mas se você quiser continuar, sugiro escrever as possibilidades e ordená-las. Você sabe que o primeiro número que começa com 42_ _ _ é 79º, então:
79º) 42 1 3 5
80º) 42 1 5 3 (te peguei, danado!)
81º) 42 3 1 5
82º) 42 3 5 1
83º) 42 5 1 3
84º) 42 5 3 1


Desculpem os mais espertos, mas fiz questão de ser um pouco prolixo e fazer bem devagar para ajudar o pessoal que está começando ou que não lembra mais o assunto.

É isso aí. Questão trabalhosa, mas muito fácil.

fiz de um jeito um pouco diferente...
Como foi dito acima, o conjunto tem 5 elementos, e a permutação dos seus elementos dá 120 (OK). Para saber quantos números começam com 1,2,3,4 ou 5 é só dividir os 120 (total) pela quantidade de elementos (5) = 24.
ou seja:
                      1 _ _ _ _ (têm 24 números que começam com 1)  
                      2 _ _ _ _ (têm 24 números que começam com 2)  
                      3 _ _ _ _ (têm 24 números que começam com 3) 
                      4 _ _ _ _ (têm 24 números que começam com 4)  
                      5 _ _ _ _ (têm 24 números que começam com 5) 

A questão pede qual é a colocação do 80º número. Os que começam com 1, 2 e 3 já dão 72 ( 24+24+24). Aqui não há necessidade de saber quais são os números. Por que parou no 3? por que se somasse + 24 do "4" ia dá 96, e a questão pede o 80. Bom... agora sim vc tem que saber os números posteriores em ordem crescente (só os próximos 8, para alcançar o 80º). Assim:
 
                      1 _ _ _ _ (têm 24 números que começam com 1)
                     2 _ _ _ _ (têm 24 números que começam com 2)                                                                            
                     3 _ _ _ _ (têm 24 números que começam com 3)  
                     4 1 _ _ _ (3.2.1 = 6) são todos os núm.  que começam com 4 e em seguida vem o 1 (ordem crescente). Até aqui já têm 78 números (72+6)
                     4 2 1 3 5  (79º)
                     4 2 1 5 3  (80º)
pronto! 

Nobres Amigos,
 
        As respostas acima estão excelentes. Tentei sintetizar tudo de forma bem didática e acrescentar alguma coisa. Está no meu blog, cujo permalink é http://www.questoesdeconcurso.net/2012/08/ceperj-2011-seduc-rj-professor.html

        Espero que possa ter contribuído para o estudo de todos. E, é isso aí, sempre em frente...

Um forte abraço