A função produção de uma firma é descrita por Y = K1/2L1/2, ...

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Q874437
Economia Microeconomia , Teoria da produção ,
Ano: 2018 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: ABIN Prova: CESPE - 2018 - ABIN - Oficial de Inteligência - Área 2 |
Q874437 Economia

A função produção de uma firma é descrita por Y = K1/2L1/2, em que Y é produto, L é a quantidade de trabalho e K é o estoque de capital. Sabendo que, nessa firma, o salário é w = 4 e a remuneração do capital é r = 1, julgue o item seguinte.


Se K = 2, então o custo total médio de curto prazo será igual a Y² + 2.

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Gabarito comentado

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Fala pessoal! Professor Jetro Coutinho na área, para comentar esta questão sobre Teoria dos Custos. 

Essa questão da prova da ABIN é mais complicadinha. Vamos devagar, que conseguiremos resolvê-la numa boa.

A questão nos informou que Y = K1/2L1/2, e que w = 4 e r = 1.

A primeira equação (Y = K1/2L1/2) é uma função Cobb-Douglas, para a qual podemos aplicar aquelas propriedades que vimos aqui no curso.

Uma das propriedades é justamente que a soma dos expoentes da função Cobb-Douglas pode nos indicar algum fato relevante. Se somarmos ½ + ½ chegaremos a 1, o que nos diz que estamos diante de uma função com retornos constantes a escala.

Retornos constantes a escala é situação na qual se nós dobrarmos os fatores de produção (trabalho e capital) a produção vai dobrar também.

Considerando essa situação, e também que tanto o K como o L são elevados a ½, podemos concluir que a firma utilizará 50% de capital e 50% de trabalho na sua produção (como é uma função constante e o expoente de K e L são iguais, a firma vai usar 50% de seu orçamento para produzir com cada fator).

Só que aqui tem uma questão envolvida. O custo do salário (w) é maior que o custo do capital (r). Isso significa que, apesar de usar o mesmo orçamento para os dois fatores, a quantidade de cada um deles será diferente, o que impactará no custo total (CT). A função CT pode ser escrita assim:

CT = wL + rK

Onde w e r são os custos de trabalho e capital, L é a quantidade de trabalho e K é a quantidade de capital.

Como w = 4 e r = 1, de tudo que a firma utilizar de capital, ela usará ¼ disso em trabalho (já que a proporção é 50% em cada insumo e o insumo do trabalho é mais caro que o capital).

Exemplo: Se a firma gastar 100 reais com trabalho e 100 com Capital (totalizando 200), ela vai usar, 25 trabalhadores (porque w.L será igual a 4*25 = 100), e usará 100 máquinas (porque rK = 1*100 = 100).

Já se a firma gastar 500 reais com Trabalho e 500 com Capital, ela vai usar, 125 trabalhadores (porque w.L será igual a 4*125 = 500), e usará 500 máquinas (porque rK = 1*500 = 500).

Ou seja, como o custo do trabalho (w= 4) é maior que o custo do capital (r = 1), a firma vai usar mais capital do que trabalho para produzir, já que o capital é o fator de produção mais barato. E a proporção utilizada será de ¼.

Bom, agora que temos essas informações, podemos começar a trabalhar. A questão quer saber qual o custo total médio, quando o K for igual a 2.

Bom, custo médio é o custo total dividido pela produção. A questão chamou a produção de Y, então, o custo médio será CT/Y.

Vamos, então, trabalhar com a função produção. A questão quer saber sobre o custo de curto prazo. No curto prazo, nós um fator de produção fixo e um fator de produção variável.

Como o trabalho é mais caro (w = 4), a firma terá mais liberdade para aumentar ou diminuir este fator, pois priorizará o outro fator que é mais barato, de forma que o nosso fator variável será o trabalho e o fator fixo será o capital.

Então, da função CT (CT = wL + rK), o wL será o nosso custo variável (pois representa o tanto que a firma gasta com o fator de produção trabalho), enquanto o rK será o nosso custo fixo (pois representa o tanto que a firma gasta com o fator de produção capital).

Bom, agora, na função de produção total, vamos isolar o fator L:

L(1/2)=Y/K(1/2)

Só que L está elevado a ½. Podemos elevar os dois lados ao quadrado para nos livrarmos do expoente de L (propriedade matemática: todo número elevado a ½, quando elevado ao quadrado, tem seu expoente igual a 1).

(L1/2)²=(Y/K1/2 )2

Como todo número elevado a ½, quando elevado ao quadrado, tem seu expoente igual a 1, teremos que:

L=Y²/K

Como já vimos, o wL será o nosso custo variável. Nossa equação tem o L, mas falta o “w", então, vamos multiplicar os dois lados da equação por “w". Ficará assim:

wL=wY²/K

Com wL é o nosso custo variável (CV), podemos trocar wL por CV. Então:

CV=wY²/K

Já o Custo Fixo (CF) será rK, mas repare que não temos rK na expressão acima. Bom, uma outra forma de enxergar a função CT é somando o CV com o CF. Assim:

CT = CV + CF

Substituindo os termos de CV e CF nessa expressão acima, teremos (CV=wY²/K e CF = rK):

CT =  wY²/K  + K.r

Agora, podemos substituir o preço dos insumos w = 4 e r = 1. Além disso, a questão nos informou que K = 2. Então:

CT =  4Y²/2  + 2.1

CT = 2Y² + 2

Por fim, como a questão quer o custo médio, basta dividirmos o CT por Y. Aí:

CTMe =  CT/Y

CTMe =  (2Y² + 2)/Y

CTMe = 2Y +  2/Y

Portanto, o custo total médio será 2Y + 2/Y, diferente do que afirma a questão.


Gabarito do Professor: ERRADO.

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Comentários

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Para quem não tem acesso a resposta.

Gaba: ERRADO

essa prova era para economista que pela amor de Deus eu estou é devendo

Trata-se de uma função Cobb-Douglas, e tal função refere-se a LONGO PRAZO. Como não se fala em curto prazo neste tipo de função, Gabarito ERRADO. Não precisa nem tentar fazer cálculo.

único comentário certo até agora: Tanjirou

CTmedio = CT/Y, onde Y é a função produção e CTmedio vou chamar de CTm. Logo

CTm = CT/Y

Mas CT = rK +wL

CT = 2 + 4L

Devemos achar o valor de L para matarmos a questão, pois o enunciado nos deu uma equação em função de Y. Então, para podermos afirmar algo sobre essa assertiva, temos q colocar CTm somente em função da variável Y.

Da função produção]:

Y = (K*L)^(1/2) obs.: só usei uma propriedade. Se vc não entendeu, acho melhor revisar - revisa aí q é rapidinho e temos q manjar dessas propriedades, pq economia não pega leva.

Se, didaticamente falando, """"""elevarmos os dois lados ao quadrado""""", teremos

Y² = K*L

Dividindo os dois lados da equação por K:

Y²/K = L

Mas K = 2 (a questão deu):

L = Y²/2

Agora, devemos pegar esse valor de L e jogar na equação do CT

CT = 2 + 4L = 2 +2Y²

Agora q temos tudo em função de Y, é só correr para o abraço

CTm = CT/Y = (2 + 2Y²)/Y

CTm = (2/Y) + 2Y

Gabarito: ERRADO

Espero ter ajudado

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