Considerando-se a expressão trigonométricax = 1 + cos 300 ,...

Primeiramente vamos lembrar de 2 identidades trigonométricas

                                            cos(a + b) = cosa + cosb - sena + senb

                                                             cos²a +sen²a = 1

Assim, temos que x = 1 + cos30, e sabemos que:

                     cos30 = cos(15 + 15) = cos15 + cos15 - sen15 + sen15 = cos²15 - sen²15

Substituindo: x = 1 + cos²15 - sen²15

Usando agora cos²a + sen²a = 1:

                   cos²15 + sen²15 = 1→ -sen²15 = cos²15 - 1

Substituindo: x = 1 + cos²15 + cos²15 - 1→ x 2cos²15

Letra A

A forma imediata que achei de resolver essa questão foi pela fórmula de transformação de soma de funções trigonométricas em produto:

http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Trigonometria/Transforma%C3%A7%C3%B5es_de_soma_de_fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas_em_produtos




Em nossa questão, temos:

x = 1 + cos 30⁰ 

Basta acharmos o arco que possui o valor do cosseno igual a 1. Sabermos que esse arco pode ser 0º ou 360º.
Utilizaremos o arco x = 0, portanto,

x = cos (0º) + cos (30º)

Substituindo os valores na fórmula acima teremos:

x = cos 0º + cos 30º = 2 * cos { ( 0 + 30 ) / 2 } * cos { ( 0 - 30 ) / 2 }

x = 2 * cos (15º) * cos (-15º)

Mas sabemos que cos - 15º = cos 15 º, (Basta desehar o cliclo trigonométrico e constatar que no primeiro e quarto quadrantes, a função cosseno possui o mesmo sinal..)

Substituindo na expressão acima,

x = 2* cos 15º * cos 15º = 2* cos² 15º

Gabarito, letra A.

Hoje o dia foi puxado!!

Boa noite!

Partindo da identidade relacional básica onde cos(a+a) = cos a x cos a - sen a x sen a, temos que:
cos 2a = cos²a - sen²a   (1)
Mas sabemos que  cos²a + sen²a = 1, logo, sen²a = 1 - cos²a, substituindo em (1), teremos:
cos 2a = cos²a + cos²a - 1 = 2cos²a - 1
Chegamos que 1 + cos 2a = 2cos²a
Como no enunciado temos que x = 1 + cos 30° concluimos que a = 15°, logo, x = 2cos²15º
ALTERNATIVA A

Podemos fazer da seguinte maneira:
Como cos(a + b) = cos a*cos b - sen a*sen b,
então cos 30 = cos (15 + 15) = cos 15*cos 15 - sen 15*sen15 = cos²15 - sen²15
Sabendo também que sen² a + cos² a = 1, então sen² a = 1 - cos² a
substituindo a por 15 -> sen²15 = 1 - cos²15.
Agora, pegamos nossa expressão trigonométrica e substituímos os valores:
x = 1 + cos 30
x = 1 + cos²15 - sen²15
x = 1 + cos²15 - sen²15
x = 1 + cos²15 - (1 - cos²15)
x = 1 + cos²15 - 1 + cos²15
x = 2*cos²15
 

Imaginemos que você, assim como eu, entenda muito pouco de trigonometria,
Dessa maneira, na hora da prova, você dificilmente se lembrará das fórmulas.
Vamos ainda imaginar que você se lembra que cos 30^oé √3/2,aproximadamente 0,86.
Então, proponho resolver esta questão utilizando o método de calcular cada opção de resposta e comparar com a expressão dada.  Não é infalível, mas pode ser utilizado em diversas questões:
Primeiro, vamos calcular o valor da expressão dada (x = 1 + cos 30⁰):
Assumimos que cos 30⁰ seja 0,86, então 1 + 0,86 = 1,86. Assim, o valor da expressão é 1,86.
Então, vamos testar a alternativas:
a) 2 cos² 15⁰
Nesse mundo nosso de leigo, sabemos que cos 30^o é 0,86. Assim, cos 15^o deve estar entre 1 (cos 0^o), o máximo,  e 0,86 (cos 30^o). Como 15^o fica entre 0 e 30, vamos considerar o cosseno um valor intermediário entre 0,86 e 1. Vamos assumir que cos 15^o seja 0,93.
Ficaria assim: 2 * cos 15⁰  * cos15⁰   = 2 * 0,93 * 0,93 = 1,73.
Não se apurou um valor igual ao da expressão dada, então vamos testar as próximas opções.
b) 4 cos² 15⁰
Ficaria assim: 4 * cos 15⁰  * cos15⁰   = 4 * 0,93 *0,93 = 3,46.
Também, o valor apurado não coincidiu, mas se mostrou muito distante do valor apurado para a expressão dada. Assim, não pode ser a opção correta.
c) 2 sen² 30⁰
Nós leigos sabemos que sen 30⁰ é igual a 1/2.
Então 2 * sen 30⁰ * sen 30⁰  é igual a 2 * 1/2 * 1/2 = 1/2 ou 0,5.
O valor apurado também ficou muito distante do valor calculado para a expressão dada, por isso não pode ser a resposta da questão.
d) 2 cos² 30⁰ .
Ficaria assim: 2 *cos 30⁰ * cos 30⁰ = 2 * 0,86 * 0,86 = 1,45.
O valor apurado não ficou tão distante, mas a opção “a” ainda se mostra mais próxima do valor calculado para a expressão dada.
e) 4 sen² 15⁰
Mas qual é o sen 15⁰?. Nesse nosso mundo de leigo, sabemos que sen 30^o é 0,5. Assim, sen 15^o deve estar entre 0 (sen 0^o), o mínimo,  e 0,5 (sen 30^o). Como 15^o fica entre 0 e 30, vamos considerar o seno um valor intermediário entre 0 e 0,5. Vamos assumir que cos 15^o seja 0,25.
Ficaria assim: 4 * sen 15⁰ * sen 15⁰ = 4 * 0,25 * 0,25 = 0,25.
Esse valor também não pode ser a resposta da questão, pois está absurdamente distante do valor calculado para a expressão dada.
Conclusão:
A resposta correta só pode ser a opção “a”.

É incrivel como uma materia que a gente estudou na 7 serie pode ser tão complicada pra uma prova de concurso público