Sejam Y e Z variáveis aleatórias independentes e identicamen...

P(−1)+P(1)+4⋅P(2)−(P(−1)+P(1)+P(2))=8/5−1

3⋅P(2)=3/5

P(2)=1/5

Somando agora a primeira e a terceira equação do sistema teremos:

P(−1)+P(1)+1/5+(−1⋅P(−1)+P(1)+2/5)=1

2⋅P(1)=1−2/5−1/5=2/5

P(1)=1/5

Substituindo P(2) e P(1) na terceira equação temos:

P(−1)+1/5+1/5=1

 P(−1)=3/5

Agora, com os valores calculados podemos encontrar P(Y2+Z2>16/5), como Y e Z são valores inteiros e 4>16/5>3 então queremos encontrar, na verdade, P(Y2+Z2≥4), os pares de Y e Z que satisfazem essa equação são todos aqueles em que ou y, ou z é igual 2.

• Esses pares são: (-1,2), (1,2), (2,2), (2, -1), (2,1).

P(Y2+Z2≥4)=∑y∑zP(Y=y)×P(Z=z), onde y2+z2≥4

Agora podemos concluir a questão realizando as contas:

P(Y=2,Z=−1)=P(Y=2)⋅P(Z=−1)=1/5⋅3/5=3/25

P(Y=2,Z=1)=P(Y=2)⋅P(Z=1)=1/5⋅1/5=1/25

P(Y=2,Z=2)=P(Y=2)⋅P(Z=2)=1/5⋅1/5=1/25

P(Y=−1,Z=2)=P(Y=−1)⋅P(Z=2)=3/5⋅1/5=3/25

P(Y=1,Z=2)=P(Y=1)⋅P(Z=2)=1/5⋅1/5=1/25

Somando tudo obtemos:

 9/25

Gabarito: Letra D

Entendi nada, alguém poderia explicar de onde surgiram essas equações?

Filipe, a equação P(−1)+P(1)+4⋅P(2)−(P(−1)+P(1)+P(2))=8/5−1 vem de:

• P(−1): P(Y = -1)
• P(1): P(Y = 1)
• P(2): P(Y = 2)

São os únicos valores inteiros que a variável Y pode assumir (ou Z, já que são iguais). Isso é lógico, visto as condições dadas do enunciado Prob(Y + Z > 4) = 0 e Prob(Y + Z > -3) = 1. Além de que Prob(YZ = 0) = 0, então Y não pode ser 0.

Sabemos que P(-1) + P(1) + P(2) deve ser igual a 1.

O enunciado também estabelece que E(Y^2 + Z^2) = 16/5, logo E(Y) = 8/5, já que Y e Z são iid.

Juntando esses conceitos nós chegamos à equação do Francisco.

Vi o vídeo compartilhado por volta de 1:05:00 e minha dúvida é: a restrição existe em relação à soma Y+Z, mas Y poderia assumir o valor -20 e Z o valor 22, por exemplo, e a restrição se manteria, pois -20+22 = 2 e -3 < Y+Z <=4.

No entanto, no vídeo, para o cálculo das esperanças de Y e Z, essa restrição foi feita para os valores separados, levando à construção da tabela com os valores -2,-1,0,1,2 e 3 (o 4 deveria estar nessa tabela também,seguindo essa lógica, pois a soma nunca ultrapassa 4). Assim, não entendi essa construção que foi feita.