Seja uma a.a. [X1, X2, ... , Xn] de uma distribuição f(x, θ...

Teorema de Lehmann-Sheffe:

Seja T(X) uma estatística suficiente e completa para o parâmetro θ e seja θ^ um estimador insesgado para θ. O teorema de Lehmann-Sheffe afirma que o estimador θ^ é o melhor estimador insesgado (ou seja, o estimador insesgado de menor variância) se θ^(X)\hat{\theta}(X)θ^(X) for uma função da estatística suficiente e completa T(X).

1. Estatísticas Suficientes e Completas: A ideia é que, se conhecemos uma estatística suficiente e completa para o parâmetro, qualquer estimador insesgado que dependa dessa estatística terá a menor variância possível entre todos os estimadores insesgados.
2. Estimadores Insesgados: O teorema oferece uma maneira de identificar os melhores estimadores insesgados possíveis. Para aplicar o teorema, é necessário garantir que o estimador seja insesgado e que a estatística usada seja suficiente e completa.

Um exemplo clássico onde o teorema de Lehmann-Sheffe é aplicado é o caso da distribuição normal com média conhecida. Se sabemos que a variância é conhecida e temos uma amostra normal, a média amostral é um estimador insesgado para a média populacional, e devido à sua relação com a estatística suficiente e completa, é o melhor estimador insesgado.

O teorema de Lehmann-Sheffe é uma ferramenta poderosa para a teoria da estimação e é fundamental para garantir que os estimadores encontrados são, de fato, os melhores possíveis em termos de variância.

Um estimador θ^ para um parâmetro θ é dito ser insesgado se a sua expectativa matemática é igual ao parâmetro que está sendo estimado

O Teorema de Neyman-Pearson é um dos resultados fundamentais na teoria de testes de hipóteses estatísticas. Ele fornece um método para encontrar o teste mais eficaz para distinguir entre duas hipóteses estatísticas quando se busca controlar o nível de erro tipo I.

O teorema pode ser enunciado da seguinte maneira:

Dado um problema de teste de hipóteses onde queremos distinguir entre duas hipóteses simples, H0​ e H1​, e temos uma função de verossimilhança para a amostra, o teste de máxima verossimilhança que maximiza a potência do teste, sujeito a um nível de significância α, é um teste de razão de verossimilhança.

Mais formalmente, o Teorema de Neyman-Pearson afirma que para um nível de significância α, o teste que maximiza o poder de detectar uma hipótese alternativa H1​ em relação a uma hipótese nula H0​ é o teste baseado na razão de verossimilhança.

Para aplicar o teorema, você considera:

• Hipótese Nula (H0​): Hipótese que você está tentando rejeitar.
• Hipótese Alternativa (H1​): Hipótese que você quer aceitar se a evidência contra H0​ for forte o suficiente.
• Funções de Verossimilhança: L0​ para a hipótese nula e L1​ para a hipótese alternativa.

O teste de razão de verossimilhança (ou razão de verossimilhança) compara as funções de verossimilhança sob as duas hipóteses:

Λ(X) = L0​(X)​ / L1​(X)

Onde X é o vetor de dados amostrais.

Procedimento do Teste:

1. Definir a Estatística de Teste: A razão de verossimilhança Λ(X) é calculada para a amostra observada.
2. Determinar a Regra de Decisão: Rejeitar H0​ se Λ(X) estiver abaixo de um determinado limiar λ. O limiar λ é escolhido para garantir que o nível de significância do teste seja α.
3. Nível de Significância (α\alphaα): A probabilidade de rejeitar H0​ quando H0​ é verdadeiro (erro tipo I). O teste é projetado para ter um nível de significância fixo α.
4. Poder do Teste: A probabilidade de rejeitar H0​ quando H11​ é verdadeiro. O Teorema de Neyman-Pearson garante que o teste de razão de verossimilhança maximiza o poder do teste para um nível de significância dado.

• Maximização do Poder: O teste de Neyman-Pearson é conhecido por ser o teste que maximiza o poder de detecção para um dado nível de significância. Isso é crucial em muitas aplicações estatísticas, pois maximiza a capacidade do teste de identificar verdadeiros efeitos.
• Uso Prático: Na prática, o teste de Neyman-Pearson é frequentemente usado em contextos onde se comparam duas hipóteses específicas e as funções de verossimilhança são bem definidas. Em muitos casos, como em testes de hipótese complexos, outras abordagens podem ser necessárias, mas o princípio da razão de verossimilhança continua a ser uma base importante na teoria estatística.

O Teorema de Neyman-Pearson fornece uma base sólida para a escolha de testes de hipótese, permitindo que se maximiza a eficácia dos testes estatísticos enquanto se controla o nível de erro tipo I. É uma ferramenta fundamental para a estatística inferencial e tem um impacto duradouro na prática estatística e na teoria.

O Teorema de Cramér-Rao é um resultado fundamental na teoria de estimação estatística, que fornece um limite inferior para a variância de estimadores não-viesados. Esse limite é conhecido como o limite de Cramér-Rao. O teorema estabelece a melhor precisão possível que um estimador insesgado pode alcançar, dado o modelo estatístico e a amostra disponível.

Seja θ^ um estimador insesgado do parâmetro θ a função de informação de Fisher. Então, a variância do estimador θ^ é limitada abaixo por o inverso da informação de Fisher. Formalmente,

Var(θ^)≥1​/I(θ)

onde a função de informação de Fisher I(θ) é definida como:

I(θ)=E[(∂logL(θ/∂θ)​)^2]

Aqui, L(θ) é a função de verossimilhança e log⁡L(θ) é o logaritmo da função de verossimilhança.

1. Estimador Insesgado (θ^): Um estimador que, em média, fornece o valor verdadeiro do parâmetro θ que está sendo estimado, ou seja, E[θ^]=θ.
2. Função de Informação de Fisher (I(θ): Mede a quantidade de informação que uma amostra fornece sobre o parâmetro θ. É uma medida de precisão com a qual o parâmetro θ pode ser estimado.
3. Variância do Estimador (Var(θ^)): A medida de dispersão dos valores que o estimador θ^ pode assumir em torno do verdadeiro valor do parâmetro θ.

1. Limite Inferior: O teorema fornece um limite inferior para a variância dos estimadores insesgados. Isso significa que nenhum estimador insesgado pode ter uma variância menor que o inverso da função de informação de Fisher.
2. Eficiência do Estimador: Um estimador que atinge o limite de Cramér-Rao (ou seja, cuja variância é exatamente 1/I(θ) é chamado de eficiente. Para que um estimador seja eficiente, ele deve atingir esse limite com igualdade.
3. Condicionalidade: O teorema assume que a função de verossimilhança é diferenciável e que as condições para a existência da informação de Fisher são satisfeitas.

O Teorema de Cramér-Rao é uma ferramenta essencial para avaliar a eficiência de estimadores e fornece um benchmark para a variância dos estimadores insesgados. Ele estabelece uma base teórica para a busca de estimadores que não só sejam insesgados, mas também tenham a menor variância possível.

Em , o teorema de Rao-Blackwell permite resolver a transformação de um bruto arbitrário em um otimizado pelo critério de similar.

O teorema de Rao-Blackwell afirma que se g(X) é qualquer tipo de estimador de um parâmetro, a esperança condicionada de g(X por T(X), onde T é uma estatística , é um melhor estimador do . Algumas vezes você pode facilmente construir um g muito cru (estimtor X e, em seguida, avaliar sua esperança de um estimador que seja ideal de várias maneiras.

Resposta: D