A variância da soma X+Y é igual à soma das variâncias de X e...

Uma razão para o uso da variância em preferência a outras medidas de dispersão é que a variância da soma (ou diferença) de variáveis aleatórias independentes é a soma das suas variâncias. Uma condição não tão estricta, chamada de incorrelação (uncorrelatedness) também é suficiente. Em geral,

Aqui  é a covariância, a qual é zero para variáveis aleatórias não correlacionadas.


http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A2ncia#Propriedades

Não sei se tem uma forma mais fácil de resolver esta questão, mas eu fiz no trabalho braçal e deu certo.

Calculando a variância (média dos desvios ao quadrado):


1 - da tabela de X: {40,46,50,52,54} onde a média é 48,4

                  desvios                            desvios²
40        40-48,4 = -8,4                           70,56
46        46-48,4 = -2,4                           5,76
50        50-48,4 = 1,6                             2,56
52        52-48,4 = 3,6                            12,96
54        54-18,4 = 5,6                            31,36

70,56 + 5,76 + 2,56 + 12,96 + 31,36 / 5 = 26,04 -> essa é a variância de X


2 - da tabela de Y: {20,21,22,24,27}, onde a média é 22,8

                     desvios                               desvios²
20            20-22,8 = -2,8                           7,84
21           21-22,8 = -1,8                           3,24
22           22-22,8 = -0,8                           1,6 
24           24-22,8 = 1,2                             1,44
27           27-22,8 = 4,2                             17,64

7,84 + 3,24 + 1,6 + 1,44 + 17,64 / 5 = 6,352 -> essa é a variância de Y

3 - da tabela de X+Y: {60,67,72,76,81}, onde a média é 71,2

                       desvios                           desvio²
60             60-71,2 = -11,2                  125,44
67             67-71,2 = -4,2                     17,64
72             72-71,2 = 0,8                       1,6
76             76-71,2 = 4,8                        23,04
81             81-71,2 = 9,8                      96,04

125,44 + 17,64 + 1,6 + 23,04 + 96,04 / 5 = 52,752 -> essa é a variância de X+Y


CONCLUSÃO

A questão pergunta se a variância da som X+Y é igual a soma das variâncias X e Y

52,752 != 32,392

Portanto, não, as variâncias não são iguais.

Corrigindo o colega que comentou anteriormente, quando você soma os quadrados dos desvios e então vai dividi-los para encontrar a variância, você deve dividir pelo número de casos menos um, assim:

s²= [Somatório (X - Média)²]/n-1

Em que:

X = valor do evento

n = número de eventos

Portanto, as variâncias encontradas para X e Y seriam: S²x = 30,8 | S²y = 7,7
A variância de S²x+y = 65,7. Portanto, mesmo que se some, com a correção, as novas variâncias, elas não atingem a variância de X + Y

Pedro, somente para amostras diminui-se 1. Não se faz isso para populações. No caso temos uma população. Temos todos os dados de um período qualquer.

A variância nao se soma por meio das propriedades comutativas.