A lei de resfriamento de Newton afirma que em um ambiente co...
onde
é a temperatura ambiente do meio, 
é a temperatura do objeto no instante t = 0 e k é uma constante positiva que depende do material do corpo. Num certo dia, a temperatura ambiente era de 30 graus. A água que fervia a 100 graus em uma panela, cinco minutos depois de apagado o fogo, tinha a temperatura de 65 graus. Assim, o tempo necessário, em minutos, depois de apagado o fogo, para a água atingir a temperatura de 38 graus, foi de
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A equação é: T(t) = Tm + (To - Tm)*e^(-t*k)
Queremos o valor de t para T(t) = 38º, partindo de t=0, que é quando o fogo é apagado. Então:
38 = 30 + (100 - 30)*e^(-t*k)
8 = 70*e^(-t*k)
8/70 = e^(-t*k)
Aplicando ln nos dois lados da equação:
ln(8/70) = ln[e^(-t*k)]
Revisão: algumas propriedades logarítmicas:
ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
ln(a^b) = b*ln(a)
ln(1) = 0
ln(e) = 1
Então:
ln(8) - ln(70) = -t*k*ln(e)
ln(2^3) - ln(2*35) = -t*k*1
3*ln(2) - [ln(2) + ln(35)] = - t*k
t = [ln(35) - 2*ln(2)]/ k
Não sabemos o valor de k, mas podemos calcular usando os dados para t = 5:
T(t) = Tm + (To - Tm)*e^(-t*k)
65 = 30 + (100 - 30)*e^(-5*k)
35 = 70*e^(-5*k)
1/2 = e^(-5*k)
ln(1/2) = ln[e^(-5*k)]
ln(1) - ln(2) = -5*k*ln(e)
0 - ln(2) = -5*k*1
k = ln(2)/5
Agora sabemos o valor de k. Vamos substituir na equação anterior:
t = [ln(35) - 2*ln(2)]/ k
t = [ln(35) - 2*ln(2)]/ [ln(2)/5]
Como foi dado que ln(35) = 3,5 e ln(2) = 0,7, basta substituir.
(DICA: note que 3,5 = 5*0,7 ou seja, ln(35) = 5*ln(2)]
t = [5*ln(2) - 2*ln(2) / [ln(2)/5]
t = 3*ln(2) / [ln(2)/5]
t = 3*5* ln(2)/ln(2)
t = 15 minutos
Gabarito: C
Esta questão caiu na prova para Jornalista. Eu eu fico me perguntando: por que, meu Deus, por que???
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