O chefe do controle de qualidade de uma empresa solicita a v...

Fórmula da VARIÂNCIA POPULACIONAL!

Substitui pelos valores dados pela questão.

Houve erro de digitação por parte do examinador, que deveria acarretar na anulação da questão. O intervalo desejado, na verdade, é aquele que está dentro de 0,5σ de μ (e não 0,5σ^2).

Feita esta correção, temos aplicação direta do Teorema de Chebyshev.

O intervalo do tipo μ±kσ contempla, pelo menos, a proporção de 1−1/k^2 das observações. E esta proporção foi fixada em 99%.

1−1/k^2=0,99

k=10

Lembrando que "k" é o número de desvios padrão que nos afastamos da média. Mas este número é sempre tomado com relação à variável que está sendo analisada (no caso, X¯). O problema é que o exercício, por sua vez, reescreveu este intervalo em termos não de σX¯ (desvio padrão de X¯), mas sim em termos de σ (desvio padrão de X). Então precisamos fazer a conversão.

σX¯=σ/√n

→σ=√n×σX¯

Ou seja, o fator que multiplica o desvio padrão da variável em estudo, qual seja, o desvio padrão de X¯, é justamente 0,5√n. Assim:

k=0,5√n

10=0,5×√n

n=400

Resposta: C

Observações: como dissemos, a falha de digitação, ao escrever σ^2 em vez de σ, deveria acarretar na anulação da questão. Além disso, diante do teorema do limite central, é possível resolver esta questão supondo que x¯ se comporte aproximadamente como uma normal, o que vai diminuir bastante o tamanho da amostra necessário para garantir a condição definida pelo examinador. Passaríamos a ter uma questão envolvendo a amplitude do intervalo de confiança. Como o examinador queria uma solução via Teorema de Chebyshev (o que não é comum quando se tem a distribuição a ser empregada), seria mais adequado ter deixado o enunciado "amarrado", dizendo expressamente para usar Chebyshev

Por tudo isso, o melhor seria ter anulado a questão.