Um hexágono é obtido unindo-se os pontos médios dos lados de...

Um hexagono inscrito em uma circunferencia tem como lado seu proprio raio.A area total deste hexagono pode ser calculada por 6*a area de um dos triangulos equilateros. A altura deste triangulo e igual a (lado vezes raiz de 3 dividido por 2) que corresponde ao lado do menor hexagono.Basta calcular a area destes  triangulos maior e menor para chegarmos a solucao da questao.Area do triangulo maior=(lado ao quadrado vezes raiz de 3 dividido po 4) area do triangulo menor=((lado ao quadrado=3*a² /4)*V3/4). Fazendo as simplificacoes chega-se a 4/3.

Tirado do Yahoo:

Razão é sempre a mesma em qq hexagono,
considere então Lado hexagono maior = 1 unidade

Esboce os 2 hexagonos, um inscrito numa circunfer d raio = "1", outro hexagono nos pontos médio deste, a circunfer q inscreve ele tem raio = Lado deste hexagono menor, "L" é visivelmente igual a altura e triângulo "conhecido" no hexagono maior.

Teorema de Pitágoras:
L ² = 1² - (1/2)² = 4/4 - 1/4 = 3/4 ... tirando a raiz ... L = (√3)/2

Area do maior = 6 * 1 * (√3 / 2) / 2 = 3√3 / 2
Área do menor = 6 * (√3 / 2) * {(√3 / 2)*√3 / 2} / 2 = 9√3 / 8

Pergunta: "razão entre as áreas do hexágono maior e do menor"
Razão é divisão ...
(3√3 / 2) / (9√3 / 8) = (3√3 / 2) * (8/9√3) = (24√3)/(18√3) = corta √3, simplif = 4/3

Resposta * d) 4/3