Sete pessoas formarão uma fileira. Entretanto, três delas, p...

Tema Central: A questão aborda o conceito de permutação com restrição, especificamente como calcular o número de maneiras diferentes de organizar uma fila quando um grupo de pessoas deve permanecer junto.

Resumo Teórico: Para resolver esse tipo de problema, consideramos o grupo de pessoas que deve permanecer junto como uma única unidade ou "bloco". Isso reduz a complexidade do problema para a combinação do restante das pessoas mais o bloco. O conceito crucial aqui é de permutação, que é uma forma de calcular o número de arranjos possíveis de um conjunto de itens.

Exemplo prático: Se temos 7 pessoas e 3 delas devem ficar juntas, podemos tratar essas 3 como uma "pessoa" ou "bloco". Assim, em vez de ter 7 indivíduos para organizar, teremos apenas 5 unidades (4 pessoas + 1 bloco). Calculamos a permutação dessas 5 unidades e, em seguida, as permutações internas das 3 pessoas dentro do bloco.

Justificando a Alternativa Correta (B - 720):

1. Considere o "bloco" que contém as 3 pessoas da mesma família. Com isso, temos 5 unidades para organizar (4 pessoas individuais + 1 bloco).
2. O número de maneiras de organizar 5 unidades é dado por 5! (fatorial de 5), que é igual a 120.
3. Dentro do bloco, as 3 pessoas podem ser organizadas de 3! (fatorial de 3) maneiras, que é igual a 6.
4. Multiplicando as possibilidades, temos: 5! × 3! = 120 × 6 = 720

Portanto, a alternativa correta é B - 720.

Análise das Alternativas Incorretas:

• A - 120: Este valor corresponde apenas à permutação de 5 unidades, sem considerar a organização interna do bloco.
• C - 4.320: Esta quantidade é resultado de um erro de cálculo, possivelmente considerando mais unidades ou um erro na multiplicação.
• D - 5.040: Este é o resultado de 7! (fatorial de 7), que não aplica corretamente a restrição do bloco.

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Sete pessoas formarão uma fileira. Entretanto, três delas, por serem da mesma família, devem ficar sempre juntas. Dessa forma, o número de maneiras distintas de se formar essa fileira, independente de ordem de chegada, é

A) 120.    B) 720.    C) 4.320.   D) 5.040. ( gabarito correto , letra B)

(mesma família ocupam 3 lugares) faltam 4 lugares

considera os 3 lugares apenas 1 ( pq eles tem que ficar sempre juntos)

agora tem 5 lugares

5! = 120

os membros das famílias pode ser organizarem de qualquer jeito ex

A B C , pode ser B C A etc

3! = 6

6x120 = 720