João tem uma fazenda de gado, e a quantidade de animais cr...

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Q211816
Matemática Funções , Logaritmos ,
Ano: 2011 Banca: CEPERJ Órgão: SEEDUC-RJ Prova: CEPERJ - 2011 - SEDUC-RJ - Professor - Matemática |
Q211816 Matemática
João tem uma fazenda de gado, e a quantidade de animais cresce regularmente 20% a cada ano. Certo dia, João diz: “se todas as condições continuarem as mesmas, daqui a n anos minha boiada será 10 vezes maior que a de hoje”. O menor valor inteiro de n que torna essa afirmação verdadeira é:
Obs: dado log12 = 1,08

Alternativas

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 João tem uma fazenda de gado, e a quantidade de animais cresce regularmente 20%(= 100% + 20% = 120% = 1,2) a cada ano. Assim, temos uma PG, cuja razão será q = 1,2:


                                                                     an = a1*q(n-1) = a1*1,2(n-1)


Daqui a n anos, a boiada será 10 vezes maior que a de hoje. Logo tomando a1 como a quantidade de bois que João tem atualmente: an = 10a1 assim:


10a1 = a1*1,2(n-1)

10 = 1,2(n-1)

Aplicando log na base 10 em ambos os lados e lembrando que log(10) = 1:


log(10) = log(1,2(n-1))

1 = (n - 1)*log(1,2)

1 = (n - 1)*log(12/10)


1 = (n - 1)*[log(12) - log10]


1 = (n - 1)*[log(12) - 1]


1 = (n - 1)*[1,08 - 1]


1 = (n - 1)*0,08


0,08n = 1 + 0,08


n = 1,08/0,08


n = 13,5 ≈ 13 (Menor valor inteiro)



Resposta: Alternativa B.

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Termo geral PG

an = a1.qn -1
10x = x .(1,2)n -1  cancela x
10 = (1,2)n -1
10 = (1,2)n
           1,2

1,2(10) = (1,2)n
12 = (1,2)n

Transforma em logarítmo

log12 = log(1,2)n
log12 = log(12/10)n
log12 = n[ log12 - log10]
1,08 = n[ 1,08 - 1]
1,08 = n [ 0,08]
0,08n = 1,08
n = 13,5

menor valor inteiro: 13
10 = 1 * 1,2^n
10 = 1,2^n
n = log(1,2) 10 . . . . . . . . . . (log de 10 na base 1,2)

Transformação para logaritmo decimal:
n = log 10 / log 1,2
n = log 10 / log (12/10)
n = log 10 / (log 12 - log 10)
n = 1 / (1,08 - 1)
n = 1 / 0,08
n = 100/8 = 25/2

n = 12,5 anos

Ou, arredondando:

n = 13 anos

an=a1.qn-1

10=1 . 1,2n -1

10=1,2n-1

Passando para logaritmo:

Log10=log1,2n-1

Log10 = (n-1).log1,2

Log10=(n-1).log12/10

Log10=(n-1).[log12-log10]

1=(n-1).[1,08-1]

1=(n-1).0,08

1=0,08n-0,08

1+0,08=0,08n

n=1,08/0,08

n=13,5

menor valor inteiro = 13


Eu discordo, para que o menor valor inteiro de n que torna a boida 10 vezes maior deveria ser o 15.

Em apenas 13 anos ainda não será 10 vezes maior, por causa que levará 13,5 anos para chegar ao que se afirma. ¬¬

A maneira correta de resolver essa questão é por juros compostos e não PG. Pois a cada ano a boiada cresce 20%. M = C (1+i)^t B = Bois que é seu capital, Seu montante é o que vc quer ter 10B, logo: 10B = B * (1,2)^t   -> 10 = 1,2^t. Comentário da wanessa explica como resolver.
É só lembrar que se eu tinha 100 bois no primeiro ano no segundo eu terei 120 e agora serão 20% dos 120 bois. 
Por pg o resultado é 13,5 logo o menor valor inteiro seria 14
Por Juros compostos o resultado é 12,5 logo o menor valor inteiro é 13 -> Resposta do gabarito.

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