As funções f e g, definidas por f : IR – {2}→ IR e g : IR → ...

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Q557618
Matemática Funções , Função de 2º Grau ou Função Quadrática e Inequações ,
Ano: 2015 Banca: FUNCERN Órgão: IF-RN Prova: FUNCERN - 2015 - IF-RN - Assistente em Administração |
Q557618 Matemática
As funções f e g, definidas por f : IR – {2}→ IR e g : IR → IR, são tais que f(x) =Imagem associada para resolução da questão  e g(x) = x² – 2x + 1.

Considerando essas informações, g[f(2+√2)] − f [g(√3+1)]  é igual a
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Para esta questão é necessário saber compor funções. Note que nas informações que o enunciado pede para considerar, é aplicada a função g na função f. 

.

Isto é, ele calcula g(f(x)) no ponto x = 2 + raiz(2). 

.

E em seguida ele dá a composição f(g(x)) no ponto x = raiz(3) + 1.
.

Basta encontrarmos as compostas f(g(x)) e g(f(x)) que conseguiremos aplicá-las nestes pontos dados e daí prosseguir com a subtração..

Calcular f(g(x)) é aplicar a lei de formação da f na função g, ou seja, é fazer f(x^2 – 2x + 1). 

.

Mas o que a lei de formação da f faz?

.

Ela pega o parâmetro x e calcula 1/(x – 2). 

.

Neste caso, o parâmetro é a expressão toda x^2 – 2x + 1.

. 

Então, temosf(g(x)) = 1/[(x^2 – 2x + 1) – 2] = 1/(x^2 – 2x – 1)

.

Utilizando o mesmo raciocínio, vamos encontrar a outra composição:

.

g(f(x)) = g(1/[x – 2]) 

.

Mas a lei de formação da função g pega o parâmetro e aplica a fórmula x^2 – 2x + 1. 

.

Daí,g(1/[x – 2]) = [1/(x – 2)]^2 – 2[1/(x – 2)] + 1

.

Desenvolvendo, chega-se em g(f(x)) = 1/[(x – 2)^2] – 2/(x – 2) + 1

.

Agora basta calcular as compostas nos pontos dados e fazer a diferença. 

.

Então,

.

g(f(2 + raiz(2))) = [1/(2 + raiz(2) – 2)^2] – [2/(2 + raiz(2) – 2)] + 1

.

Desenvolvendo chega-se em 

.

g(f(2 + raiz(2))) = 3/2 – raiz(2) *

.

f(g(raiz(3) + 1)) = 1/[(raiz(3) + 1)^2 – 2(raiz(3) +1) – 1] 

.

E desenvolvendo esta conta chega-se a

. 

f(g(raiz(3) + 1)) = 1 **

.Agora basta subtrair ** de *. 

.

Segue

.

3/2 – raiz(2) – 1 = 1/2 – raiz(2) = (1 – 2raiz(2))/2.

.

Portanto, gabarito (C).
.

A notação está muito ruim porque o editor de textos daqui não ajuda.
Coloquem essas contas no papel e verão que não é tão complicado assim.
Abraços!

f(x) = 1 / (x-2)

g(x) = x² - 2x + 1

 

g[f(2+√2)] − f [g(√3+1)]  é igual a ???

 

Primeiro resolver f(2+√2) e g(√3+1)

 

f(x) = 1 / (x-2) →  f(2+√2) = 1 / [(2 + √2) - 2] = 1 / (2 + √2 - 2) = 1 / √2 . Agora é preciso tirar a raiz do denominador → (1 / √2) x (√2 / √2) = √2 / √4 = √2 / 2

Então f(2+√2) = √2 / 2​

 

g(x) = x² - 2x + 1 → g(√3+1) = (√3+1)² - 2 (√3+1) + 1 = [(√3)² + 2 . √3 . 1 + 1² ] - 2√3 - 2 + 1 = 3 + 2√3 + 1 - 2√3 - 1 = 3

Então g(√3+1) = 3

 

Voltando a fórmula temos g(√2 / 2) − f (3)

Agora resolvendo igual anteriormente mas para os valores de √2 / 2 e 3

 

g(x) = x² - 2x + 1 → g(√2 / 2) = (√2 / 2)² - 2 . (√2 / 2) + 1 = (2 / 4) - (2√2 / 2) + 1 = (2 - 4√2 + 4) / 4 = (6 - 4√2) / 4 = (3 - 2√2) / 2

 

f(x) = 1 / (x-2) → f (3) = 1 / (3 - 2) = 1 / 1 = 1

 

Finalmente substituindo na fórmula para achar o valor: 

 

g(√2 / 2) − f (3) 

[(3 - 2√2) / 2] - 1 = (3 - 2√2 - 2) / 2 = 1 - 2√2

                                                                   2

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