O proprietário de uma academia observou que, fixando ...

i) Equacionando o problema: (1000 - 40x)*(100+20x)

ii) Desenvolvendo a equação: 100.000 + 20.000x - 4.000x - 800x² ---> função do 2º grau

iii) Deriva e iguala a Zero para achar o valor máximo da função: 20.000 - 4.000 = 1.600x

iv) X = 10

v) Logo: 1000 - 40*10 = 600 (gabarito A)

A cada 20,00 que aumentava-se na mensalidade, o proprietário perdia 40 clientes.

Valor em Reais           Pessoas que ele perdia

             20,00       =>                  40

Investigando a alternativa (A). Essa alternativa informa que 600 pessoas continuaram na academia, isso quer dizer que ele perdeu 400 pessoas. Então vamos fazer regra de 3.

20 - 40

x   - 400

40x = 8000

x= 200,00

A mensalidade teve um aumento de 200,00 . Isso quer dizer que a mensalidade passou de 100,00 para R$ 300,00.

Como possui 600 clientes pagando 300,00 seu faturamento será de R$ 180.000,00

Investigando a alternativa (B). Essa alternativa informa que 700 pessoas continuaram na academia, isso quer dizer que ele perdeu 300 pessoas. Então vamos fazer regra de 3.

20 - 40

x   - 300

40x = 6000

x= 150,00

A mensalidade teve um aumento de 150,00 . Isso quer dizer que a mensalidade passou de 100,00 para R$ 250,00.

Como possui 700 clientes pagando 250,00 seu faturamento será de R$ 175.000,00

Agora é só seguir a mesma linha de raciocínio para as outras alternativas. 

Simples para quem sabe cálculo I, kkkkkk

Fiz igual ao nosso amigo Sérgio Filho.

para quem não sabe derivadas:

F(X) = (100 + 20x) * (1000 - 40x)

100.000 - 4000x + 20.000x - 800x² -----> (achar os zeros da função)

-800x² + 16.000x + 100.000 = 0 ------> divide tudo por 800 para facilitar

-x² + 20x + 125 = 0

lembrando que numa equação do tipo ax² + bx + c, podemos achar a soma da seguinte forma:

Soma das raízes = -b/a ---> -(20)/-1 = 20

Produto = c/a ---> 125/-1 = -125

logo, 

os números que somados dão 20 e multiplicados dão -125 são: x' = -5 e x"=25

fazendo um gráfico com a parábola com a concavidade para baixo (pois a < 0), o ponto médio é igual a 10. Considerando que F é a reta vertical, podemos concluir que o faturamento máximo se dá quando x for igual a 10. Sendo assim, 1000 - 40*10 = 600.