A equação 2x5 - 6x4 + x3 - 3x2 - x + 3 = 0 possui uma raiz ...

Basta usar o Briott Ruffini. Sabendo que uma raiz é inteira ela só pode ser 1,2 ou 3, pois esses números são divisíveis pelo 2x^5 e pelo 3, que são o primeiro e último termos respectivamente.

3| 2 -6 1 -3 -1| 3
   2  0  1  0 -1  0

A equação passou a ser:

2x⁴+x²-1=0

Fazendo x²=y

2y²+y-1=0

Resolvendo essa equação acharemos as raízes: 1/2 e -1

Substituindo essas raízes na expressão x²=y

x²=-1
x=i

x²=1/2
x=raiz de 2/2

Contudo temos 4 raízes reais e uma imaginária.

R:d

Mas Gustavo, o gabarito da questão é a letra C, 3 raízes reais. Pelo menos é este o gabarito passado pelo QC...

Podemos escrever essa equação assim:

x³(2x²+1) - 3x²(2x²+1)-x+3 = x²(2x²+1)(x-3) - (x-3) = (x-3)(x²(2x²+1)-1) = 0

Temos um produto de polinômios acima, um deles de primeiro grau. Podemos concluir que uma das raízes é 3. Dividindo então por x-3 teremos
x^4 +x² -1 = 0. Dessa equação temos 4 raizes -> duas delas são complexos conjugados e outras duas são reais. Como estamos no domínio dos reais, podemos concluir que temos 3 raízes.

OBS: é impossível ter um número ímpar de raízes complexas. Sempre que temos um complexo teremos seu par conjugado

 

Bom é o seguintte a resposta correta é a junção da parte inicial de Gustavo + a parte final de Daniel Pereira

 

Basta usar o Briott Ruffini. Sabendo que uma raiz é inteira ela só pode ser 1 ou 3, pois esses números são divisíveis pelo 2x^5 e pelo 3, que são o primeiro e último termos respectivamente. 

3| 2 -6 1 -3 -1| 3
   2  0  1  0 -1  0

A equação passou a ser:

2x^4+x^2 - 1=0

x^4 +x² -1 = 0. Dessa equação temos 4 raizes -> duas delas são complexos conjugados e outras duas são reais. Como estamos no domínio dos reais, podemos concluir que temos 3 raízes.