Considere um modelo de regressão linear simples, tal que o t...

A afirmação de que os coeficientes do modelo de regressão são dados por b = [1,50; 0,50] precisa ser verificada. Vamos calcular os coeficientes de um modelo de regressão linear simples e comparar com os valores fornecidos.

Modelo de Regressão Linear Simples:

O modelo de regressão linear simples é dado por:

Y = b₀ + b₁X + ε

Onde:

• Y é a variável dependente.
• X é a variável independente (covariável).
• b₀ é o intercepto.
• b₁ é o coeficiente angular (inclinação).
• ε é o erro aleatório.

Cálculo dos Coeficientes:

As fórmulas para calcular os coeficientes de mínimos quadrados ordinários (MQO) são:

b₁ = Σ[(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)] / Σ(xᵢ - x̄)²

b₀ = ȳ - b₁x̄

Onde:

• xᵢ e yᵢ são os valores observados de X e Y, respectivamente.
• x̄ e ȳ são as médias amostrais de X e Y, respectivamente.

Informações Fornecidas:

• n = 10 (tamanho amostral)
• Σxᵢ = 20 (soma dos valores de x)
• Σ(xᵢ - x̄)² = 60 (soma dos quadrados dos desvios de x)
• X'Y = [25; 80] (onde 25 é Σyᵢ e 80 é Σxᵢyᵢ)

Calculando as Médias:

x̄ = Σxᵢ / n = 20 / 10 = 2

ȳ = Σyᵢ / n = 25 / 10 = 2,5

Calculando b₁:

Podemos reescrever a fórmula de b₁ da seguinte forma:

b₁ = [Σxᵢyᵢ - n * x̄ * ȳ] / Σ(xᵢ - x̄)²

Substituindo os valores conhecidos:

b₁ = [80 - 10 * 2 * 2,5] / 60 b₁ = [80 - 50] / 60 b₁ = 30 / 60 b₁ = 0,5

Calculando b₀:

b₀ = ȳ - b₁x̄ b₀ = 2,5 - (0,5 * 2) b₀ = 2,5 - 1 b₀ = 1,5

Comparando com a Afirmação:

Calculamos b₀ = 1,5 e b₁ = 0,5. A afirmação diz que os coeficientes são b = [1,50; 0,50]. Portanto, os valores calculados concordam com a afirmação.

Conclusão:

A afirmação "Assim, os coeficientes do modelo de regressão são dados por b = [1,50; 0,50]" é correta. Nossos cálculos mostram que b₀ = 1,5 e b₁ = 0,5.

Em resumo:

Calculamos os coeficientes do modelo de regressão linear simples usando as informações fornecidas. Os valores calculados para o intercepto (b₀ = 1,5) e o coeficiente angular (b₁ = 0,5) correspondem aos valores apresentados na afirmação.

Informações adicionais que podem ser úteis:

• A matriz X'Y, onde X é a matriz dos valores da covariável (com uma coluna de 1s para o intercepto) e Y é a matriz dos valores da variável dependente, é usada no cálculo dos coeficientes de regressão em notação matricial. No entanto, para regressão linear simples, as fórmulas apresentadas acima são geralmente mais diretas.
• A soma dos quadrados dos desvios de x, Σ(xᵢ - x̄)², representa a variabilidade da variável independente.
• O conhecimento das fórmulas e a correta aplicação delas são cruciais para resolver problemas de regressão linear.

Portanto, após os cálculos, confirmamos que a alternativa apresentada na questão está correta.