Para cada usuário que ingressa em um determinado aplicativo,...

Não concordo com o gabarito, mas quem souber por favor coloque.

O total de possibilidades para a criação do PIN, considerando o uso do algarismos de 0 a 9, seria de:

10 x 10 10 x 10 = 10.000 possibilidades

Agora, para a possibilidade de se ter 2 algarismos iguais no mesmo PIN, pensei da seguinte forma:

1. 00--
2. 0-0-
3. 0--0
4. -0-0
5. --00
6. -00-

Ou seja, como são 6 disposições diferentes para um PIN de 4 digitos, então serão 60 possibilidades para cada PIN. Tão logo, a probabilidade seria de:

(60*60)/10000 = 9/25

Com toda certeza, estou me equivocando em algum ponto, mas, pelo menos, o resultado se aproxima do gabarito...

Gabarito C

A questão informou um número PIN de quatro dígitos diferentes, sendo diferentes não pode repetir, logo, a conta correta não é a que resulta 10.000 possibilidades. E são 2 números PIN, ou seja, 2 conjuntos de números com 4 dígitos, exemplo:

PIN 1: 2.4.0.3 --- não pode repetir, mas a ordem não importa, então, nesse usarei combinação simples.

PIN 2: 2.4.9.7 --- ele quer a repetição de 2 dígitos no grupo 1 e no grupo 2, travei no 2 e 4 a repetição, os dois seguintes tanto faz, logo, nesse usarei arranjo simples, não pode repetir e a ordem importa porque teremos que repetir 2 números.

Para achar a resposta precisará usar as fórmulas de arranjo simples e combinação simples.

Combinação Simples:

A ordem importa? Não

Pode repetir? Não

fórmula: n! ÷ p!(n-p)!

10! ÷ 4!(10-4)! = 10x9x8x7x6! ÷ 4x3x2x1 6! = 5040÷24=210

Arranjo Simples: 

A ordem importa? Sim

Pode repetir? Não

fórmula: n! ÷ (n-p)!

10! ÷ (10-2)! = 10x9x8! ÷ 8! = 90

Probabilidade é achar os repetidos dentro do número de possibilidades, logo, 90/210, simplificando temos: 3/7.

A questão está errada. Pelas respostas que levam a alternativa "certa", eu consigo ver um erro. Nenhum dos cálculos leva em consideração que os dois algarismos que faltam (após a repetição de dois algarismos) possam se repetir, causando uma repetição de dois pares no segundo PIN. Essa possibilidade deveria ser subtraída, já que a questão pede "exatos 2 digitos".

Essa questão está polêmica.