O preço unitário p de um determinado equipamento varia segu...
O preço unitário p de um determinado equipamento varia
segundo a equação de demanda 
, em que x
é o número de equipamentos produzidos.
O número de equipamentos que devem ser produzidos e vendidos para maximizar a receita R = p.x é de, aproximadamente,
- Gabarito Comentado (1)
- Aulas (2)
- Comentários (5)
- Estatísticas
- Cadernos
- Criar anotações
- Notificar Erro
Gabarito comentado
Confira o gabarito comentado por um dos nossos professores
p = √(800 - x)
>> Para encontrarmos a receita máxima, precisaremos derivar a receita total, obter a receita marginal e igualá-la a zero. Contudo, neste exercício quantitativo, será necessário aplicar regras específicas de derivação, tais como a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro, vamos montar a equação de receita total (RT).
RT = p*Q
RT = p*x
RT = [√(800 - x)]*x
>> Vamos derivar RT em função de x para obter a receita marginal (RMg) e, como p está em função de x também, será necessário aplicar a regra da cadeia.
RMg = ∂RT / ∂x
RMg = [√(800 - x)]' * x + [√(800 - x)] * x' (aplicação da regra do produto)*
RMg = [√(800 - x)]' * x + [√(800 - x)] * 1 (reformulação dos elementos com raiz)
RMg = [(800 - x)1/2]' * x + (800 - x)1/2 (aplicação da regra da cadeia p/ o primeiro elemento)**
RMg = [(1/2)(800 - x)-1/2 * (-1)] * x + (800 - x)1/2
RMg = [(-1/2)(800 - x)-1/2] * x + (800 - x)1/2
RMg = {-1 / [2(800 - x)1/2]} * x + (800 - x)1/2
RMg = {- x / [2(800 - x)1/2]} + (800 - x)1/2 [aplicação mmc igual a 2(800 - x)1/2]
RMg = - x + [(800 - x)1/2 * 2(800 - x)1/2] (aplicação regra de potenciação)
RMg = - x + 2(800 - x)1
RMg = - x + 1600 - 2x
RMg = - 3x + 1600
>> Depois de toda a dificuldade, agora ficou fácil. Basta igualar RMg a zero para descobrir a RT máxima.
RMg = 0
- 3x + 1600 = 0
x = 1600 / 3
x = 533,33
Portanto, o número de equipamentos que devem ser produzidos e vendidos para maximizar a receita R = p.x é de, aproximadamente, 533.
* Derivada do primeiro elemento multiplicada pelo segundo somada à multiplicação do primeiro elemento com a derivada do segundo.
** Aplica-se a regra de derivação básica mantendo o elemento entre parêntesis inalterável e, após, multiplica-se pela derivada do elemento entre parêntesis em relação a x que, neste caso, resultará no valor -1, já que 800 é uma constante.
GABARITO DO PROFESSOR: LETRA C.
Clique para visualizar este gabarito
Visualize o gabarito desta questão clicando no botão abaixo
Comentários
Veja os comentários dos nossos alunos
Resposta: Letra C
Resolvi testando alternativas, mas deu um grande trabalho fazer as raízes.
Bem, quando uma questão pede maximização ou minimização, ela está tratando de máximos e mínimos de uma função. Nesse caso, a gente já é induzido a pensar no teorema fundamental do cálculo e derivar a função e igualar a zero.
Nesse caso, a gente quer a maximização da função R = p.x, onde p, que representa da demanda, é a raiz de (800 - x).
A gente precisa determinar a função Receita, que é R = raiz(800-x).x.
Agora a gente precisa derivar essa função e igualar a zero. As raízes dessa derivada são os pontos máximos e mínimos (a depender do seu sinal).
R = raiz (800-x).x
R' = (1/2*1/raiz(800-x)*-1). x + raiz(800-x).1 = 0 (aqui eu apliquei a regra da derivada do produto: deriva o primeiro, multiplica pelo segundo e soma com o primeiro, multiplicado pela derivada do segundo)
Trabalhando, algebricamente, a gente chega em 3.x = 1600, que é 533.
p = raiz(800-x)
p^2 = 800 - x
x = 800 - p^2
RT = px = p(800 - p^2) = 800p -p^3
No máximo, deriva e iguala a zero (cálculo)
-3p^2 + 800 = 0
p^2 = 800/3
Substitui em x
x = 800 - 800/3 = 533,333
Se alguém estiver na dúvida do porque devo derivar a função da Receita e depois igualar a 0, explico rapidamente.
1) A derivada de uma função é a taxa de variação instantânea de uma função em relação a uma variável
2) faça a função da Receita (Rt=Q.P)..
igual o Flávio demonstrou
3) Pra entender.Onde no gráfico a taxa de variação instantânea vai ser igual a 0? Exatamente no momento em que ele para de crescer e passa a descer (ou vice-versa).
3) Dito isso, se você pegar qualquer função de segundo grau, quando você derivar e igualar a zero, sempre vai achar este ponto mínimo ou máximo
É a magia do cálculo matemático. Eu amo.
Testei 400 e 600... somei-os e dividi por 2 para tenta encontrar uma média, daí escolhi o valor mais próximo de 500. Chute técnico, kkkk.
Clique para visualizar este comentário
Visualize os comentários desta questão clicando no botão abaixo
Conheça nossos planos