Em uma sala de aula com 30 alunos, alguns têm, hoje, idade d...

Alternativa Correta: A - 320.

Vamos analisar o problema de álgebra apresentado. O tema central desta questão envolve equações lineares e a soma de idades. Trata-se de calcular a soma das idades dos alunos após alguns aniversários.

Conceitos Fundamentais: Para resolver a questão, precisamos compreender como calcular a soma de valores e como o aumento de idade de algumas pessoas impacta esse total. Em situações como esta, a álgebra é usada para organizar e resolver problemas que envolvem incógnitas.

Passo a Passo para a Solução:

• Denotemos por x o número de alunos que têm 10 anos hoje. Assim, o número de alunos que têm 11 anos é 30 - x.
• A soma das idades hoje: 10x + 11(30 - x) = 312.
• Expandindo a equação: 10x + 330 - 11x = 312.
• Simplificando: -x + 330 = 312.
• Resolvendo para x: x = 18. Portanto, 18 alunos têm 10 anos, e os 12 restantes têm 11 anos.
• No próximo mês, 1/3 dos alunos de 10 anos farão aniversário, ou seja, 18/3 = 6 alunos.
• Além disso, 2 alunos de 11 anos farão aniversário.

Novas Idades:

• Após os aniversários, 6 alunos passam de 10 para 11 anos, e 2 alunos passam de 11 para 12 anos.
• Portanto, a nova soma das idades será: 312 + 8 = 320 (6 aniversários de 10 para 11 anos somam 6 anos, e 2 aniversários de 11 para 12 anos somam 2 anos, totalizando 8 anos extras).

Justificativa da Alternativa Correta: A soma das idades após os aniversários é 320, portanto, a alternativa correta é a A.

Análise das Alternativas Incorretas:

• B - 324: Pressupõe um erro no cálculo, provavelmente considerando aniversários extras ou esquecendo o número correto de aniversários.
• C - 328: Pode ter sido resultado de considerar mais aniversários do que realmente ocorreram.
• D - 332: É um valor muito alto, possivelmente contando todos os alunos como tendo feito aniversário.
• E - 336: Erro de cálculo significativo, que ignora completamente a quantidade limitada de aniversários.

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Sem cálculos muito complexos, baseando-se na lógica simples, temos:

Se a soma da idade dos alunos é igual a 312, então é impossível que só existam alunos com 10 anos, porque daria 300 anos no total. Como faltam 12 anos e a diferença de 10 para 11 é 1, precisamos incluir 12 crianças com 11 anos para fechar a conta, sobrando 18 crianças com idade provável de 10 anos.

Para conferir se é isso mesmo, basta multiplicar 18 x 10 e somar com 12 x 11, o que vai resultar em 213. Pronto, descobrimos a informação mais importante que é a quantidade de crianças de cada idade. Agora, o segundo passo é somar 1 ano para cada aluno que vai fazer aniversário no próximo mês, sendo um terço de 18, que resulta em 6 anos, e 2 alunos com 11 anos que farão 12 anos.

Com a matemática simples, basta entender que a quantidade de crianças também será a quantidade de anos a mais que deve ser encontrada no final do próximo mês. Assim sendo, basta somar a idade inicial 312 com 6 e 2, resultando em 320.

Para a prova real dessa segunda parte, também é possível usar uma tabela como a seguinte:

18 crianças = 10 anos (180)

12 crianças = 11 anos (132)

PASSA A SER:

12 crianças = 10 anos (120)

6 crianças = 11 anos (66)

10 crianças = 11 anos (110)

2 crianças = 12 anos (24)

Ao somar os subtotais, chega-se ao resultado final 320.

x = alunos com 10 anos

y= alunos com 11 anos

x + y = 30

10x + 11y = 312

Isolei o x na 1ª equação:

x = 30 - y

Substituí na 2ª equação:

10 (30 - y) + 11 y = 312

300 - 10y + 11 y = 312

y = 12

agora substituí o valor de y para encontrar o x na primeira equação

x + 12 = 30

x = 18

1/3 dos alunos fizeram 11 anos, então temos 6 x 11 = 66

2 alunos fizeram 12, então temos 2 x 12 = 24

Dos 18 alunos, 12 continuam com 10 anos, temos 10 x 12 = 120

E dos 12, 10 continuam com 11 anos, temos 10 x 11 = 110

Somando tudo: 66 + 24 + 120 + 110 = 320

Sala com 30 alunos

alguns tem 10 x

demais tem 11 y

soma das idades =312

1° equação x+y=30 alunos

2° equação 10x+11y=312 idade

x+y=30 multiplica por -10 pra tentar anular o 10 x

10x+11y=312

Ficando assim:

-10x-10y=-300

10x+11y=312

y=12

Agora substitui o valor de y na 2° equação

10x+11.12=312

10x+132=312

10x=312-132=180

x=180/10

x=18

como já achamos os valores de x(18 tem 10 anos) e y(12 tem 11 anos) é só seguir o que a questão pede:

Terça parte(1/3) dos que tem 10 fazem aniversário

1/3.18= 6 fazem aniversário

E 2 dos que tem 11 fazem aniversário.

A soma das idades de todos os 30 alunos, após esses aniversários, será:

só somar 312 + 6 + 2 = 320