Assinalar a alternativa que apresenta os resultados possívei...

De acordo com o enunciado e aplicando as propriedades logarítmicas, tem-se:
 
10 - x = x² + 2x
x² + 3x - 10 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se que as raízes reais são - 5 e + 2.

Resposta A)

Vamos lá galera,

Questão tranquila para quem conhece o básico do logaritmo que é entender que este é um operador, o qual nos remete as equações exponenciais.

Veja:

Log a b = x ---- a ^ x = b  ---- [ Na prática, temos que entender que a elevado a x  é igual a b. ]

Ex: Log 2 8 = 3 --- 2 ^ 3 = 8  [ 2 elevado a 3 é 8 ]

Nesta questão, basta substituir os valores de x na expressão e, o único valor que tornar a expressão VERADEIRA, será a resposta. Cabe ressaltar que os dois valores referentes a x devem estar corretos. Caso um dê errado, a assertiva estará errada. Observe as opções:

a) x = - 5 e x = 2.

Log (10- x ) ( x2 + 2x) = 1

x = - 5 ------  [10 – ( -5)] ^ 1*  = [- 52  + 2 . (- 5) ] -----  10 + 5 = 25 -  10 --- V

x = 2 ------  [10 – 2)] ^ 1*  = [ 22  + 2 .  2 ] -----  10 - 2 = 4 + 4  --- V

* OBS: Lembro que qualquer número elevado ao expoente um, terá como resultado ele mesmo.

GABARITO: LETRA A

b) x = -3 e x = 2.

Log (10- x )( x2 + 2x) = 1

x = - 3 ------  [10 – ( -3)]1  = [- 32  + 2 . (- 3) ] -----  10 + 3 = 9 -  6 --- F

* Uma opção falsa, já torna a assertiva errada.

c) x = -5 e x = 1.

Log (10- x )( x2 + 2x) = 1

x = 1 ------  [10 – 1)]1  = [ 12  + 2 .  1 ] -----  10 - 1 = 1 + 2  --- F

* Uma opção falsa, já torna a assertiva errada.

d) x = -3 e x = 1.

Log (10- x )( x2 + 2x) = 1

x = - 3 ------  [10 – ( -3)]1  = [- 32  + 2 . (- 3) ] -----  10 + 3 = 9 -  6 --- F

* Uma opção falsa, já torna a assertiva errada

Outro modo de olhar para essa questão:

Note que 1 = log[a]a, sendo [a] = base, (a) = logaritmando. Ou seja, o log de algum valor cuja base seja esse mesmo valor, é 1.

Assim, enxergue o 1 da equação como log[10-x](10-x). Ficamos com:

log[10-x](x^2 + 2x) = log[10-x](10-x)

Por definição de Logaritmos, log[b](a) = log[b](c) se, e somente se, a = c. Daí,

x^2 + 2x = 10 - x

Basta, então, encontrar as raízes da equação x^2 + 3x - 10 = 0, que são -5 e 2.

Portanto, alternativa A.

Outra maneira: Trocando as bases da equacao para a base 10:

log[x^2+2x]/log[10-x] = 1 (divisão  de logaritmos = diferenca)

log[x^2+2x-10+x] = 1, logo: 10^[x^2+2x-10+x] = 1 (qualquer numero elevado a 0 eh 1):

Logo: x^2+2x-10+x = 0, cuja raizes sao -5 e 2. Alternativa A.

O enunciado informa que o Log de x²+2x na base 10-x é igual a 1. Pelos conceitos básicos de Log, quando o resultado é 1? Quando a base e o logaritimando são iguais. Logo:

Eu ainda não entendi... pode me explicar novamente...