Em uma Progressão Geométrica crescente, a7 + a5 = 26.112 ...

|  a4 + a2 = 408                     | a1q³ + a1q = 408                           | a1q(q² + 1) = 408 

|  a7 + a5 = 26.112                |a1q^6 + a1q^4 = 26.112                  | a1q^4(q² + 1)= 26.112       cortando (q² + 1) e a1 pela divisão:

|q = 408

|q^4= 26.112       que dividindo um pelo outro fica:

q³= 64

q=4                  com a razão, basta voltar à equação  a1q³ + a1q = 408

                                                                                 4³a1 + 4a1 = 408   ==> 68a1= 408   ==> a1= 6

a6= 6 * 4^5

a6= 6 * 1024    ==> 6144

Achei a questão muito difícil.

Só consegui fazer vendo a explicação do Mario.

Parabéns pelo raciocínio, Mario.

A questão nos diz que  a7 + a5 = 26.112  e  a4 + a2 = 408 e quer saber o valor de A6=?

Com esses dados podemos descobrir a razão, pois a soma de dois termos intercalados por outro, dividido por outros dois termos anteriores intercalados por outro, é igual a Razão ao cubo. Ou seja: 

a7 + a5/a4 + a2 = R³ --> 26.112/408 = R³ --> R³ =64 --> R=4

Agora podemos encontrar A1, pois sabemos que An=A1.R^n-1.  Vamos escolher a equação que a soma é menor para fazermos as substituições:

a4 + a2 = 408
(A1.R^4) +(A1.R^1) = 408
(A1.4^4) +(A1.4^1) = 408
64A1+4A1=408 --> 68A1=408 --> A1=6

Vamos encontrar o A6 que a questão pede usando An=A1.R^n-1 . 

A6=A1.R^5 --> A6=6.4^5 --> A6=6.1024 --> A6=6144

Achei a questão bem dificil. Não consegui entender pq a razão fica r³. poderiam explicar?

Eu resolvo da mesma forma que Mario, apenas procuro montar 2 equações com apenas 2 incógnitas para simplificar na sequência. Segue:

a7+a5=26.112

a7=(a1.q^6)

a5=(a1.q ^4)

Logo:

(a1.q^6)+(a1.q^4)=26.112, colocando em evidência:

Equação 1: a1.q^4.(q ^2 +1)=26.112

a4+a2=408

a4=a1.q ^3

a2= a1.q

Logo:

(a1.q^3)+(a1. q)=408, colocando em evidência:

Equação 2: a1.q (q ^2 +1)=408

Agora dividindo a equação maior pela menor temos:

[a1.q^4.(q ^2 +1)=26.112 ] / [a1.q (q ^2 +1)=408]

q^3=64

q^3= 4^3, corta os expoentes iguais

q=4

OBS:(@ricardo nunes,  fica só q^3, pq  q^4 cortando com "q" fica q^3, o a1 e tudo de dentro do parenteses acaba eliminado completamente e 26.112/408 fica 64)

Achado a razão, basta substituir o q na equação 2 para achar o a1:

a1.q (q ^2 +1)=408

a1.4.(4^2 +1)=408

a1.4.(17)=408

a1.68=408

a1=408/68

a1=6

Por fim, a6=a1. q^5

a6= 6.(4)^5

a6=6144