A fim de modelar a forma de uma das pilastras que sustenta...

Olá, não consegui resolver essa questão, alguém saberia me explicar?

Obrigado!

O volume do sólido é dado por:

V = integral tripla (1dV)

Utilizando coordenadas cilindricas, temos que:

x = r.cos(t)

y = r.sen(t)

z = z

dV = r.dz.dr.dt

A integral tripla em coordenadas cilíndricas é:

V = integral tripla (r.dz.dr.dt)

Transformando as funções em condenadas polares:

z = 2r^2

r^2 =2r.sen(t). ------------ r = 2sen(t)

Para encontrar os limites de integral de teta, é necessário realizar o desenho das funções. Mas como o cilindro está sobre o eixo y positivo, fica fácil de identificar que teta ( representado por 't') varia de 0 a pi. Temos, portanto:

0 < z < 2r^2

0 < r < 2.sen(t)

0 < t < PI

Se integrado correntamente, a terceira integral é:

V = integral (8.sen^4(t)) dt, de 0 a pi.

A integral pode ser resolvida considerando:

sen^2(t) = 1/2.(1-cos(2t)) ------- cos^2(2t) = 1/2.(1+cos(4t))

essa questão, sai com coordenadas cilíndricas como o rapaz disse ali no comentário, só achei brincadeira da banca colocar sin^4 t para calcular, mas enfim fazendo todos o cálculos corretos, fica a letra C