Com relação à álgebra linear, julgue o item a seguir. Se A é...

Sim, a afirmação é verdadeira. Se A é uma matriz quadrada nilpotente de índice \( n \), isso significa que existe um número inteiro positivo \( k \) tal que \( A^k = 0 \) (a matriz nula) e \( A^{k-1} \neq 0 \). Além disso, \( A^0 \) é definido como a matriz identidade \( I \).

A série \( I + A + A^2 + \ldots + A^{k-1} \) é uma soma finita, pois a partir do termo \( A^k \), todos os termos subsequentes são nulos.

Agora, considerando a matriz \( B = I - A \), podemos calcular sua inversa usando a série dada:

\[

\begin{align*}

B^{-1} &= (I - A)^{-1} \\

&= I + A + A^2 + \ldots + A^{k-1}.

\end{align*}

\]

Isso significa que \( (I - A)^{-1} \) é igual à soma finita \( I + A + A^2 + \ldots + A^{k-1} \). Portanto, a afirmação é correta para matrizes nilpotentes de índice \( n \).

(I-A)^-1= I

pois

I^-1=I

e os termos A são nulos.