Seja (an) uma progressão geométrica com a1 = 1 e a razão q...
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Ano: 2023
Banca:
IV - UFG
Órgão:
Prefeitura de Morrinhos - GO
Provas:
CS-UFG - 2023 - Prefeitura de Morrinhos - GO - Fiscal de Tributos
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CS-UFG - 2023 - Prefeitura de Morrinhos - GO - Fiscal de Posturas e Edificações |
CS-UFG - 2023 - Prefeitura de Morrinhos - GO - Fiscal Sanitário |
CS-UFG - 2023 - Prefeitura de Morrinhos - GO - Fiscal Consumerista |
CS-UFG - 2023 - Prefeitura de Morrinhos - GO - Fiscal Ambiental |
Q2300698
Matemática
Seja (an) uma progressão geométrica com a1 = 1 e a razão
q = 1+i / 1-i , em que i=√−1 é a unidade imaginária. A soma dos
2023 primeiros termos dessa PG é
Precisa saber que (1+i)/(1-i) = i
Logo: r = i
Dado que a1 = 1
Soma PG = a1 . (r^n - 1) / (r - 1)
então:
Soma PG = (i^n - 1) / (i-1)
S = (i^2023 - 1) / (i - 1)
Precisa saber que o resultado positivo ou negativo da potência de i equivale a i elevado ao resto da divisão de n por 4, ou seja, 2023 / 4 possui resto = 3. Logo, i^2023 = i^3. Ou seja, i^3 = i^2 . i. Ou seja, i^3 = - i.
Então:
S = (- i - 1) / (i - 1)
Quanto dá?
multiplica tudo por 1, ou, por exemplo, por (i+1)/(i+1)
Fica assim:
S = [(-i - 1). (i+1) ] / [(i-1) . (i+1)]
S = (-i^2 -i -i -1) / (i^2 +i -i -1)
S = (1 -2i -1) / (-1 -1)
S = -2i /-2
S = i
pqp
Respeite questão. Que bom que sei manipular números complexos.