Um poste possui altura  e formato do paraboloide dad...

Definindo o problema:

precisamos calcular o Mz/M.

Pela caracteristica do problema pode-se utilizar coordenada cilindrica.

M = pi*integral(R(z)^2 fi(z) dz) -> Massa

Mz = pi*integral( z* R(z)^2 fi(z) dz) -> Momento de inercia em Z

1º Etapada, mudar de coordenada cartesiana para cilindrica:

• x^2+y^2=R^2
• logo:
• Z=a-a/rho^2 *R^2
• isolando R^2, tem-se:
• R(z)^2 = rho^2(1-z/a)

• Observe que a densidade é apenas função de Z, logo
• rho(z)= 2a-Z

2º Calcular a Massa:

• M = pi*integral(R(z)^2 fi(z) dz)
• simpificando R(z)^2 fi(z):
• R(z)^2 fi(z)=rho^2(1-z/a)*(2a-Z)=rho^2(2a-3z+z^2/a)
• M = pi *rho^2 integral(2a-3z+z^2/a) dz
• M= pi *rho^2 (2az-(3z^2)/2+z^2/a)
• Aplicando o limite de integração 0<z<a
• M=pi *rho^2 *5/6*a^2

3º Calcular o Momento de inércia em Z:

• Mz = pi*integral( z* R(z)^2 fi(z) dz)
• Mz = pi *rho^2 integral[z*(2a-3z+z^2/a)] dz
• Mz = pi *rho^2 integral[(2a*z-3z^2+z^3/a)] dz
• Mz=pi *rho^2*(a*z^2-z^3+z^4/(4a))
• aplicando os limites 0<z<a
• Mz=1/4*a^3*pi *rho^2
• 4º Calcular o centro de massa:
• Mz/M=(1/4*a^3)/(5/6*a^2) = 3/10 * a

Resposta Mz/M=3/10*a